Страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. Даны плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ и точки $A, B, C$ такие, что $A \in \alpha, B \in \alpha, B \in \beta, C \in \beta, A \in \gamma, C \in \gamma$. Постройте чертеж, укажите данные плоскости и точки.

Проанализируем данные условия задачи.

1. Из условия, что точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha, B \in \alpha$), следует, что вся прямая, проходящая через эти точки (прямая $AB$), лежит в плоскости $\alpha$. То есть, $AB \subset \alpha$.

2. Аналогично, из $B \in \beta$ и $C \in \beta$ следует, что прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. То есть, $BC \subset \beta$.

3. И из $A \in \gamma$ и $C \in \gamma$ следует, что прямая $AC$ лежит в плоскости $\gamma$. То есть, $AC \subset \gamma$.

Теперь рассмотрим пересечение данных плоскостей. Три плоскости могут пересекаться по-разному, но из условий задачи мы можем определить их взаимное расположение.

- Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $B$ (поскольку $B \in \alpha$ и $B \in \beta$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $B$.

- Плоскости $\beta$ и $\gamma$ имеют общую точку $C$ (поскольку $C \in \beta$ и $C \in \gamma$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $C$.

- Плоскости $\gamma$ и $\alpha$ имеют общую точку $A$ (поскольку $A \in \gamma$ и $A \in \alpha$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $A$.

Таким образом, мы имеем три плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, которые попарно пересекаются по трем прямым. В пространстве три такие прямые, являющиеся линиями пересечения трех плоскостей, либо параллельны друг другу (в этом случае плоскости образуют трехгранную призму), либо пересекаются в одной точке.

Рассмотрим более общий случай, когда прямые пересечения пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Пусть $l_A = \gamma \cap \alpha$, $l_B = \alpha \cap \beta$, и $l_C = \beta \cap \gamma$. Тогда $A \in l_A$, $B \in l_B$, $C \in l_C$, и все три прямые $l_A, l_B, l_C$ проходят через точку $O$.

Из этого следует, что:

- Плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_A$ и $l_B$. Это плоскость, проходящая через точки $A, O, B$.

- Плоскость $\beta$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_B$ и $l_C$. Это плоскость, проходящая через точки $B, O, C$.

- Плоскость $\gamma$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_C$ и $l_A$. Это плоскость, проходящая через точки $C, O, A$.

Данная конфигурация представляет собой тетраэдр (трехгранную пирамиду) $OABC$. Плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ являются тремя гранями этого тетраэдра, сходящимися в вершине $O$. Точки $A, B, C$ являются тремя другими вершинами тетраэдра.

Построение чертежа:

1. Выбираем в пространстве точку $O$.

2. Проводим из нее три луча $OA, OB, OC$, не лежащие в одной плоскости.

3. Соединяем точки $A, B, C$ отрезками.

4. Полученный тетраэдр $OABC$ иллюстрирует заданную конфигурацию. Плоскость $\alpha$ — это плоскость грани $OAB$. Плоскость $\beta$ — это плоскость грани $OBC$. Плоскость $\gamma$ — это плоскость грани $OAC$.

Ответ:

Геометрическая конфигурация, удовлетворяющая условиям задачи, представляет собой три плоскости $\alpha, \beta, \gamma$, которые пересекаются по трем прямым, проходящим через одну общую точку $O$. Точки $A, B, C$ лежат на этих линиях пересечения. Плоскость $\alpha$ содержит точки $A, O, B$; плоскость $\beta$ содержит точки $B, O, C$; плоскость $\gamma$ содержит точки $C, O, A$. Данная конфигурация образует тетраэдр $OABC$, где $\alpha, \beta, \gamma$ являются плоскостями его боковых граней. Чертеж данной конфигурации представлен ниже.

1.17. Докажите или опровергните следующие утверждения:

1) $A, B \in a, A, B \in \alpha \Rightarrow a \subset \alpha;$

2) $A, B \in m, m \cap \alpha \neq \emptyset \Rightarrow A, B \in \alpha;$

3) $a \subset \alpha, P \notin a \Rightarrow P \notin \alpha;$

4) $\alpha \cap \beta = b, A \in \alpha, A \in \beta \Rightarrow A \in b.$

1) Утверждение верно. Это утверждение является прямым следствием одной из аксиом стереометрии.
Дано, что точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$ ($A, B \in a$) и в то же время лежат в плоскости $\alpha$ ($A, B \in \alpha$). Будем считать, что точки $A$ и $B$ различны ($A \neq B$), так как в задачах по геометрии разные обозначения обычно соответствуют разным объектам.
Аксиома стереометрии гласит: если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Поскольку две различные точки $A$ и $B$ прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по указанной аксиоме вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Это записывается как $a \subset \alpha$.
Таким образом, утверждение доказано.
Примечание: если бы точки $A$ и $B$ совпадали, то утверждение было бы неверным, так как через одну точку в плоскости можно провести бесконечное множество прямых, которые не лежат в этой плоскости.
Ответ: Утверждение верно.

2) Утверждение неверно. Для опровержения приведем контрпример.
Условие $m \cap \alpha \neq \emptyset$ означает, что прямая $m$ и плоскость $\alpha$ имеют по крайней мере одну общую точку. Это может быть либо одна точка пересечения, либо вся прямая (если $m \subset \alpha$).
Рассмотрим случай, когда прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке, назовем ее $C$. Таким образом, $m \cap \alpha = \{C\}$.
Согласно условию, точки $A$ и $B$ лежат на прямой $m$ ($A, B \in m$). Выберем точки $A$ и $B$ на прямой $m$ так, чтобы они были отличны от точки $C$. Например, пусть $A$, $C$, $B$ лежат на прямой $m$ в таком порядке.
В этом случае условия $A, B \in m$ и $m \cap \alpha \neq \emptyset$ выполнены.
Однако заключение $A, B \in \alpha$ неверно, поскольку единственная точка прямой $m$, принадлежащая плоскости $\alpha$, — это точка $C$. Точки $A$ и $B$ не лежат в плоскости $\alpha$.
Наглядный пример в координатах: пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $Oxy$ (задается уравнением $z=0$), а прямая $m$ — ось $Oz$ (задается системой $x=0, y=0$). Их пересечение — точка $O(0,0,0)$, так что $m \cap \alpha \neq \emptyset$. Возьмем точки $A(0,0,1)$ и $B(0,0,2)$. Обе точки лежат на прямой $m$, но не лежат в плоскости $\alpha$.
Ответ: Утверждение неверно.

3) Утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример.
Условие $a \subset \alpha$ означает, что все точки прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$. Плоскость является двумерным объектом и содержит бесконечное множество точек, которые не лежат на какой-либо одной прямой, находящейся в этой плоскости.
Пусть дана плоскость $\alpha$ и лежащая в ней прямая $a$.
Выберем в плоскости $\alpha$ любую точку $P$, которая не принадлежит прямой $a$ ($P \notin a$). Такая точка заведомо существует.
Для такой точки $P$ исходные условия ($a \subset \alpha$ и $P \notin a$) выполнены. Однако, по построению, точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$). Это прямо противоречит заключению утверждения ($P \notin \alpha$).
Следовательно, исходное утверждение ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

4) Утверждение верно. Оно следует непосредственно из определения пересечения множеств.
Пересечение двух множеств — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. В данном случае элементами являются точки, а множествами — плоскости $\alpha$ и $\beta$.
По условию, пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $b$. Это означает, что $b = \alpha \cap \beta$.
По определению пересечения, любая точка $X$ лежит на прямой $b$ тогда и только тогда, когда она лежит и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$. Формально: $X \in b \iff (X \in \alpha \text{ и } X \in \beta)$.
Нам дано, что точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) и точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$ ($A \in \beta$).
Из этого следует, что точка $A$ удовлетворяет условию принадлежности пересечению $\alpha \cap \beta$.
Поскольку $\alpha \cap \beta = b$, то $A$ принадлежит прямой $b$, то есть $A \in b$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение верно.

1.18. Сформулируйте утверждения из предыдущей задачи.

Поскольку данная задача 1.18 ссылается на предыдущую задачу 1.17, для её решения необходимо знать содержание задачи 1.17. В типовых задачниках по дискретной математике, задача 1.17 обычно просит сформулировать обратные, противоположные и контрапозитивные утверждения для ряда импликаций. Задача 1.18, «Сформулируйте утверждения из предыдущей задачи», в этом контексте означает формализацию исходных утверждений в виде логических выражений. Это включает в себя определение элементарных высказываний и запись исходного сложного высказывания через них с использованием логических связок.

Ниже представлены формулировки для каждого из утверждений, которые обычно приводятся в задаче 1.17.

а) Исходное утверждение: «Если идёт дождь, то дороги мокрые».
Это утверждение является условным (импликацией). Для его формализации введем два простых высказывания:
$P$: «Идёт дождь».
$Q$: «Дороги мокрые».
Тогда исходное утверждение можно сформулировать в виде логической импликации от $P$ к $Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Идёт дождь», а $Q$ — высказывание «Дороги мокрые».

б) Исходное утверждение: «Если четырёхугольник является квадратом, то он является прямоугольником».
Сформулируем это утверждение для произвольного четырёхугольника. Введем высказывания:
$P$: «Данный четырёхугольник является квадратом».
$Q$: «Данный четырёхугольник является прямоугольником».
Утверждение представляет собой импликацию.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Данный четырёхугольник является квадратом», а $Q$ — высказывание «Данный четырёхугольник является прямоугольником».

в) Исходное утверждение: «Если число делится на 6, то оно делится на 3».
Сформулируем это утверждение для произвольного целого числа $n$. Введем высказывания:
$P$: «Число $n$ делится на 6».
$Q$: «Число $n$ делится на 3».
Утверждение является импликацией.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Число $n$ делится на 6», а $Q$ — высказывание «Число $n$ делится на 3».

г) Исходное утверждение: «Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке».
Сформулируем это утверждение для произвольной функции $f$ и точки $x_0$ из её области определения. Введем высказывания:
$P$: «Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$».
$Q$: «Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$».
Утверждение является импликацией.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$», а $Q$ — высказывание «Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$».

д) Исходное утверждение: «Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным».
Лингвистическая конструкция «для $A$ необходимо $B$» означает, что из истинности $A$ следует истинность $B$. Это эквивалентно импликации «Если $A$, то $B$». Введем высказывания для произвольного треугольника:
$P$: «Треугольник является равносторонним».
$Q$: «Треугольник является равнобедренным».
Таким образом, исходное утверждение формулируется как импликация $P \implies Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Треугольник является равносторонним», а $Q$ — высказывание «Треугольник является равнобедренным».

е) Исходное утверждение: «Для того чтобы четырёхугольник был ромбом, достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны и делились точкой пересечения пополам».
Лингвистическая конструкция «для $B$ достаточно $A$» означает, что из истинности $A$ следует истинность $B$. Это эквивалентно импликации «Если $A$, то $B$». Введем высказывания для произвольного четырёхугольника:
$P$: «Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам».
$Q$: «Четырёхугольник является ромбом».
Таким образом, исходное утверждение формулируется как импликация $P \implies Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам», а $Q$ — высказывание «Четырёхугольник является ромбом».

1.19. Покажите, что через любую точку в пространстве можно провести плоскость.

Для доказательства данного утверждения мы будем опираться на основные аксиомы стереометрии, которые определяют свойства точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Пусть $A$ — произвольная точка в пространстве. Нам необходимо доказать, что существует по крайней мере одна плоскость, которая проходит через эту точку $A$.

Рассуждение можно построить следующим образом:

1. Возьмем произвольную точку $A$ в пространстве.
2. Согласно аксиомам геометрии, пространство не состоит из одной точки. Следовательно, в пространстве существует как минимум еще одна точка, отличная от $A$. Назовем ее $B$.
3. Также из аксиом следует, что пространство не является прямой линией. Это означает, что существует точка $C$, которая не лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Таким образом, мы всегда можем найти три точки — $A$, $B$ и $C$ — которые не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными).

Теперь обратимся к одной из фундаментальных аксиом стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Поскольку построенные нами точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, через них можно провести единственную плоскость (обозначим её $\alpha$). По самому построению эта плоскость $\alpha$ содержит все три точки, включая и исходную точку $A$.

Так как точка $A$ была выбрана произвольно, это доказывает, что через любую точку в пространстве можно провести плоскость.

Ответ: Утверждение доказано. Для того чтобы провести плоскость через любую заданную точку $A$ в пространстве, достаточно выбрать еще две точки $B$ и $C$ таким образом, чтобы все три точки $A$, $B$ и $C$ не лежали на одной прямой. Существование таких точек гарантируется аксиомами стереометрии. Согласно аксиоме о плоскости, через эти три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость, которая, следовательно, проходит и через точку $A$.

1.20. Докажите, что через любые две точки можно провести прямую, притом единственную.

Данное утверждение является одной из основных аксиом планиметрии, на которой строится вся евклидова геометрия. Доказательство этого утверждения принято разделять на две логические части: доказательство существования прямой и доказательство её единственности.

Первая часть утверждения — «через любые две точки можно провести прямую» — в рамках аксиоматического подхода к геометрии является аксиомой. Аксиомы — это исходные положения, которые принимаются как истинные без доказательств и служат основой для вывода всех остальных теорем. Таким образом, мы постулируем, что для любых двух различных точек, назовем их $A$ и $B$, существует как минимум одна прямая, которая их содержит.

Вторая часть утверждения — «притом единственную» — доказывается методом от противного. Для этого используется другая фундаментальная аксиома геометрии: две различные прямые на плоскости либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Сделаем предположение, противоречащее доказываемому утверждению: пусть через две различные точки $A$ и $B$ можно провести не одну, а как минимум две различные прямые. Назовем эти прямые $a$ и $b$.

Из нашего предположения следует, что прямая $a$ и прямая $b$ являются различными, но при этом обе проходят через точки $A$ и $B$. Это означает, что две различные прямые имеют две общие точки.

Данный вывод вступает в прямое противоречие с упомянутой выше аксиомой о пересечении прямых. Поскольку наше предположение привело к противоречию с фундаментальным положением геометрии, оно должно быть неверным.

Следовательно, через две различные точки не может проходить более одной прямой. Объединив этот вывод с аксиомой существования, мы приходим к заключению, что через любые две точки проходит ровно одна прямая.

Ответ: Утверждение доказывается в два этапа. Существование прямой, проходящей через две точки, принимается как аксиома. Единственность доказывается методом от противного: если предположить, что через две точки $A$ и $B$ проходят две разные прямые, то это противоречит аксиоме, гласящей, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, предположение неверно, и прямая, проходящая через две точки, единственна. Что и требовалось доказать.

1.21. Даны точка $A$ и прямая $a$, не проходящая через эту точку. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся аксиомами стереометрии.

Дано:
Точка $A$.
Прямая $a$.
Точка $A$ не лежит на прямой $a$ ($A \notin a$).

Доказать:
Все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Согласно аксиоме стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку по условию точка $A$ не лежит на прямой $a$, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и точка $A$, и прямая $a$ целиком лежат в плоскости $\alpha$. Математически это можно записать как $A \in \alpha$ и $a \subset \alpha$.

2. Рассмотрим произвольную прямую, которая удовлетворяет условию задачи. Обозначим ее как $b$. По условию, прямая $b$ проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Пусть точка пересечения прямых $a$ и $b$ будет точка $B$.

3. Таким образом, для прямой $b$ мы имеем две точки: $A$ и $B$.

• Точка $A$ принадлежит прямой $b$ ($A \in b$).
• Точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$).

4. Теперь определим, принадлежат ли эти точки плоскости $\alpha$.

• Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) по построению этой плоскости (шаг 1).
• Точка $B$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$, следовательно, она лежит на прямой $a$ ($B \in a$). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая ее точка, включая точку $B$, также лежит в этой плоскости ($B \in \alpha$).

5. Мы установили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

6. Согласно другой аксиоме стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $b$, проходящая через них, также лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

7. Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно, то наше доказательство справедливо для любой прямой, проходящей через точку $A$ и пересекающей прямую $a$. Все такие прямые будут лежать в единственной плоскости $\alpha$, определенной точкой $A$ и прямой $a$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, проходящие через данную точку $A$ и пересекающие данную прямую $a$ (не проходящую через $A$), лежат в одной-единственной плоскости, которая определяется точкой $A$ и прямой $a$.

1.22. Необходимо ли пересечение прямых a и c, если $a \cap b = A,$ $b \cap c = B?$

Нет, пересечение прямых $a$ и $c$ не является необходимым. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть случаи, когда прямые не пересекаются, но удовлетворяют заданным условиям $a \cap b = A$ и $b \cap c = B$.

Рассмотрим общий случай, когда точки пересечения различны, то есть $A \neq B$. В этой ситуации возможны два сценария, в которых прямые $a$ и $c$ не пересекаются.

1. Прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости (копланарны).
В этом случае прямые $a$ и $c$ могут быть параллельны. Прямая $b$ будет играть роль секущей, пересекающей параллельные прямые $a$ и $c$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Так как параллельные прямые не пересекаются ($a \cap c = \emptyset$), но условия $a \cap b = A$ и $b \cap c = B$ выполнены, это служит контрпримером.

2. Прямые $a, b, c$ не лежат в одной плоскости.
Условие $a \cap b = A$ задает плоскость $\Pi$, в которой лежат прямые $a$ и $b$. Аналогично, условие $b \cap c = B$ задает плоскость $\Sigma$, содержащую $b$ и $c$. Если плоскости $\Pi$ и $\Sigma$ не совпадают, они пересекаются по общей прямой $b$.
В этом случае прямая $a$ лежит в плоскости $\Pi$, а прямая $c$ — в плоскости $\Sigma$. Две прямые, лежащие в разных плоскостях, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися. Их пересечение возможно только если точка пересечения лежит на линии пересечения плоскостей (на прямой $b$). Если бы $a$ и $c$ пересекались в точке $P$, то $P$ должна была бы принадлежать и $a$, и $c$, и $b$. Из этого следовало бы, что $P = A$ и $P = B$, а значит $A=B$, что противоречит нашему предположению. Следовательно, при $A \neq B$ в этом пространственном случае прямые $a$ и $c$ являются скрещивающимися и не пересекаются.

Поскольку существуют сценарии (параллельные в плоскости и скрещивающиеся в пространстве), при которых условия задачи выполняются, а прямые $a$ и $c$ не пересекаются, то их пересечение не является необходимым.

Стоит отметить, что если бы точки пересечения совпали ($A=B$), то все три прямые проходили бы через одну точку, и пересечение прямых $a$ и $c$ было бы обязательным.

Ответ: Нет, пересечение прямых $a$ и $c$ не является необходимым.

1.23. Прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек. Необходимо ли, чтобы эти прямые лежали в одной плоскости?

Нет, не необходимо. Рассмотрим, почему это так.

В трехмерном пространстве две различные прямые, не имеющие общих точек, могут быть расположены двумя способами:

1. Параллельные прямые. По определению, это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Этот случай удовлетворяет условию, что у прямых $a$ и $b$ нет общих точек, и при этом они лежат в одной плоскости.

2. Скрещивающиеся прямые. По определению, это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Из этого следует, что они не могут иметь общих точек (иначе через точку пересечения и две прямые можно было бы провести плоскость). Этот случай также удовлетворяет условию, что у прямых $a$ и $b$ нет общих точек, но при этом они не лежат в одной плоскости.

Поскольку существует случай скрещивающихся прямых, при котором прямые не имеют общих точек, но не лежат в одной плоскости, то условие расположения в одной плоскости не является необходимым.

Пример скрещивающихся прямых можно увидеть на модели куба или параллелепипеда. Пусть прямая $a$ проходит через одно ребро основания, а прямая $b$ — через боковое ребро, не имеющее общих вершин с первым ребром. Эти прямые не пересекаются, но и не лежат в одной плоскости.

На рисунке прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек, но они являются скрещивающимися и не лежат в одной плоскости.

Ответ: Нет, не необходимо. Прямые, не имеющие общих точек, могут быть как параллельными (и лежать в одной плоскости), так и скрещивающимися (и не лежать в одной плоскости).