Номер 1.21, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Даны точка $A$ и прямая $a$, не проходящая через эту точку. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся аксиомами стереометрии.

Дано:
Точка $A$.
Прямая $a$.
Точка $A$ не лежит на прямой $a$ ($A \notin a$).

Доказать:
Все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Согласно аксиоме стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку по условию точка $A$ не лежит на прямой $a$, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и точка $A$, и прямая $a$ целиком лежат в плоскости $\alpha$. Математически это можно записать как $A \in \alpha$ и $a \subset \alpha$.

2. Рассмотрим произвольную прямую, которая удовлетворяет условию задачи. Обозначим ее как $b$. По условию, прямая $b$ проходит через точку $A$ и пересекает прямую $a$. Пусть точка пересечения прямых $a$ и $b$ будет точка $B$.

3. Таким образом, для прямой $b$ мы имеем две точки: $A$ и $B$.

• Точка $A$ принадлежит прямой $b$ ($A \in b$).
• Точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$).

4. Теперь определим, принадлежат ли эти точки плоскости $\alpha$.

• Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) по построению этой плоскости (шаг 1).
• Точка $B$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$, следовательно, она лежит на прямой $a$ ($B \in a$). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая ее точка, включая точку $B$, также лежит в этой плоскости ($B \in \alpha$).

5. Мы установили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

6. Согласно другой аксиоме стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $b$, проходящая через них, также лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

7. Поскольку мы выбрали прямую $b$ произвольно, то наше доказательство справедливо для любой прямой, проходящей через точку $A$ и пересекающей прямую $a$. Все такие прямые будут лежать в единственной плоскости $\alpha$, определенной точкой $A$ и прямой $a$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все прямые, проходящие через данную точку $A$ и пересекающие данную прямую $a$ (не проходящую через $A$), лежат в одной-единственной плоскости, которая определяется точкой $A$ и прямой $a$.