!Подумайте, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Подумайте

Что вы думаете о фигуре, изображенной на рис. 1.18?

Лежат ли в одной плоскости все точки, указанные на рисунке?

Рис. 1.18

Что вы думаете о фигуре, изображенной на рис. 1.18?

На рисунке изображена пространственная геометрическая фигура — треугольная пирамида, которую также называют тетраэдром. Вершиной пирамиды является точка $D$, а основанием — треугольник $ABC$.

Основными элементами фигуры являются вершины $A, B, C, D$, основание $ABC$, боковые грани $DAB, DBC, DCA$ и рёбра $AB, BC, CA, DA, DB, DC$. Отрезок $DO$ является высотой пирамиды, опущенной из вершины $D$ на плоскость основания. Точки $E$ и $F$ лежат на рёбрах основания $AB$ и $BC$. Рисунок выполнен в перспективе, где пунктирными линиями ($AC, DO, EF$) обозначены невидимые (скрытые) с данного ракурса элементы фигуры.

Ответ: На рисунке изображена треугольная пирамида (тетраэдр) $DABC$, являющаяся объёмной пространственной фигурой.

Лежат ли в одной плоскости все точки, указанные на рисунке?

На рисунке указаны точки $A, B, C, D, E, F, O$. Чтобы определить, лежат ли они в одной плоскости, рассмотрим плоскость основания пирамиды, заданную тремя точками $A, B$ и $C$. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

Точки $A, B, C$ лежат в плоскости $(ABC)$ по определению. Точка $E$ лежит на отрезке $AB$, а точка $F$ — на отрезке $BC$. Поскольку отрезки $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $(ABC)$, то и точки $E$ и $F$ также лежат в этой плоскости. Точка $O$ является основанием высоты $DO$, опущенной на плоскость основания, следовательно, точка $O$ также принадлежит плоскости $(ABC)$. Таким образом, шесть точек — $A, B, C, E, F, O$ — лежат в одной плоскости.

Точка $D$ является вершиной пирамиды и не принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Это следует из того, что фигура является объёмной, а отрезок $DO$ показан как высота, то есть расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ отлично от нуля ($DO > 0$). Если бы точка $D$ лежала в плоскости $(ABC)$, то все точки были бы компланарны, и фигура была бы плоской, а не объёмной пирамидой.

Следовательно, не все точки, указанные на рисунке, лежат в одной плоскости.

Ответ: Нет, не все точки лежат в одной плоскости. Точка $D$ не принадлежит плоскости $(ABC)$, в которой лежат все остальные указанные точки ($A, B, C, E, F, O$).