Работа в группе, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Покажите параллельные прямые, проходящие через ребра параллелепипеда, пары скрещивающихся прямых, диагонали параллелепипеда. Имеются ли в параллелепипеде скрещивающиеся диагонали? Есть ли скрещивающиеся прямые среди диагоналей граней параллелепипеда и его диагоналями?

Для ответа на вопросы рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ – верхнее основание. Вершины соединены боковыми ребрами $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

Параллельные прямые, проходящие через ребра параллелепипеда

В параллелепипеде 12 ребер. Они образуют три группы по четыре взаимно параллельных ребра в каждой группе. Прямые, содержащие эти ребра, параллельны.

1. Группа ребер, параллельных ребру $AB$: $AB \parallel DC \parallel A_1B_1 \parallel D_1C_1$. Эти ребра являются сторонами "передней" и "задней" граней ($ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$), а также "верхней" и "нижней" ($A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$).
2. Группа ребер, параллельных ребру $AD$: $AD \parallel BC \parallel A_1D_1 \parallel B_1C_1$. Эти ребра являются сторонами "боковых" граней ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$), а также "верхней" и "нижней".
3. Группа боковых ребер: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

Ответ: Примерами параллельных прямых, проходящих через ребра, являются прямые $(AB)$ и $(D_1C_1)$, $(AD)$ и $(B_1C_1)$, $(AA_1)$ и $(CC_1)$.

Пары скрещивающихся прямых

Скрещивающиеся прямые – это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны друг другу. В параллелепипеде много пар ребер, через которые проходят скрещивающиеся прямые.

Возьмем ребро $AB$. Прямые, проходящие через ребра, которые с ним скрещиваются, не должны лежать в одной грани с $AB$ и не должны быть ему параллельны. Такими ребрами являются:
- Боковые ребра, не имеющие общих вершин с ребром $AB$: $DD_1$ и $CC_1$.
- Ребра верхнего основания, не параллельные ребру $AB$: $A_1D_1$ и $B_1C_1$.
Таким образом, прямая $(AB)$ скрещивается с прямыми $(DD_1)$, $(CC_1)$, $(A_1D_1)$ и $(B_1C_1)$.

Ответ: Примерами пар скрещивающихся прямых, проходящих через ребра, являются $(AB)$ и $(CC_1)$, а также $(AD)$ и $(B_1A_1)$.

Диагонали параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной и той же грани. У параллелепипеда всего четыре диагонали. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии параллелепипеда.

Для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагоналями являются отрезки:
1. $AC_1$
2. $BD_1$
3. $CA_1$
4. $DB_1$

Ответ: Диагоналями параллелепипеда являются отрезки $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, $DB_1$.

Имеются ли в параллелепипеде скрещивающиеся диагонали?

Как было упомянуто выше, все четыре диагонали параллелепипеда ($AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$) пересекаются в одной точке. Две прямые, имеющие общую точку, являются пересекающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не должны пересекаться. Следовательно, никакие две диагонали параллелепипеда не могут быть скрещивающимися.

Ответ: Нет, в параллелепипеде нет скрещивающихся диагоналей.

Есть ли скрещивающиеся прямые среди диагоналей граней параллелепипеда и его диагоналями?

Да, такие прямые есть. Рассмотрим диагональ параллелепипеда и диагональ одной из его граней.

Возьмем диагональ параллелепипеда $AC_1$.
Теперь возьмем диагональ грани $ABCD$, например, диагональ $BD$.
Прямая $(BD)$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
Прямая $(AC_1)$ пересекает эту плоскость в одной точке – вершине $A$.
Поскольку точка $A$ не лежит на прямой $(BD)$ (в невырожденном параллелограмме), то прямые $(AC_1)$ и $(BD)$ не пересекаются.
Эти прямые также не параллельны, так как одна из них ($BD$) лежит в плоскости основания, а другая ($AC_1$) пересекает эту плоскость.
Так как прямые $(AC_1)$ и $(BD)$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Да, есть. Например, диагональ параллелепипеда $AC_1$ и диагональ основания $BD$ являются скрещивающимися.