Номер 1.24, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. На рис. 1.27 изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите расположение прямых относительно друг друга:

1) $AA_1$ и $BB_1$;

2) $A_1B$ и $D_1C_1$;

3) $AD$ и $BB_1$;

4) $AB$ и $DD_1$;

5) $A_1D$ и $B_1C$;

6) $BD_1$ и $B_1C$.

Рис. 1.27

На рисунке изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для определения взаимного расположения прямых в пространстве необходимо выяснить, лежат ли они в одной плоскости. Если да, то они могут быть либо параллельными (не имеют общих точек), либо пересекающимися (имеют одну общую точку). Если прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися.

1) $AA_1$ и $BB_1$

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ являются боковыми ребрами куба. Они лежат в одной плоскости — плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Так как грань куба является квадратом, а $AA_1$ и $BB_1$ — его противоположные стороны, то они параллельны.
Ответ: параллельные прямые.

2) $A_1B_1$ и $D_1C_1$

Прямые $A_1B_1$ и $D_1C_1$ являются ребрами верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Они лежат в плоскости этой грани. Грань $A_1B_1C_1D_1$ — это квадрат, а $A_1B_1$ и $D_1C_1$ — его противоположные стороны. Следовательно, эти прямые параллельны.
Ответ: параллельные прямые.

3) $AD$ и $BB_1$

Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $BB_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, которая не принадлежит прямой $AD$. Это означает, что прямые $AD$ и $BB_1$ не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Проверим их на параллельность. Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$). Прямая $BC$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B$. По признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая ($AD$) параллельна некоторой прямой ($BC$), которая пересекает вторую прямую ($BB_1$), то первая и вторая прямые скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся прямые.

4) $AB$ и $DD_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $DD_1$ является боковым ребром и пересекает плоскость основания в точке $D$, которая не лежит на прямой $AB$. Значит, прямые $AB$ и $DD_1$ не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся. Они не пересекаются и не параллельны (прямая $DD_1$ параллельна ребру $AA_1$, которое пересекает прямую $AB$).
Ответ: скрещивающиеся прямые.

5) $A_1D$ и $B_1C$

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$ (поскольку оба они параллельны и равны ребру $AB$). Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому прямая $A_1D$ параллельна прямой $B_1C$.
Ответ: параллельные прямые.

6) $BD_1$ и $B_1C$

Прямая $B_1C$ является диагональю боковой грани и целиком лежит в плоскости этой грани $(BCC_1B_1)$. Прямая $BD_1$ является диагональю куба. Она пересекает плоскость грани $(BCC_1B_1)$ в точке $B$. Точка $B$ не принадлежит прямой $B_1C$. По признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей второй прямой, то эти прямые скрещиваются. Таким образом, $BD_1$ и $B_1C$ — скрещивающиеся прямые.
Ответ: скрещивающиеся прямые.