Номер 1.25, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Можно ли провести плоскость через прямые:

1) $AB$ и $BD_1$;

2) $BB_1$ и $DD_1$;

3) $AA_1$ и $BD_1$;

4) $A_1D$ и $B_1C$;

5) $AD$ и $B_1C$?

Проходит ли плоскость $BDD_1$ через точку $B_1$?

Для решения задачи воспользуемся аксиомами и теоремами стереометрии. Плоскость через две прямые можно провести тогда и только тогда, когда эти прямые либо пересекаются, либо параллельны. Если прямые скрещивающиеся, то провести через них одну плоскость невозможно.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке.

1) AB и BD₁

Прямые $AB$ и $BD_1$ имеют общую точку $B$. По определению, прямые, имеющие одну общую точку, являются пересекающимися. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Эта плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, точками $A$, $B$ и $D_1$.
Ответ: да, можно.

2) BB₁ и DD₁

Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами куба. В кубе все боковые ребра параллельны друг другу. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. В данном случае это плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$.
Ответ: да, можно.

3) AA₁ и BD₁

Прямая $AA_1$ — это боковое ребро куба, а $BD_1$ — диагональ куба. Проверим, являются ли эти прямые пересекающимися или параллельными.
1. Параллельность: Прямая $AA_1$ параллельна ребру $DD_1$. Прямая $BD_1$ пересекает прямую $DD_1$ в точке $D_1$. Если бы $AA_1$ была параллельна $BD_1$, то по свойству транзитивности параллельности прямых, $DD_1$ была бы параллельна $BD_1$, что невозможно, так как они пересекаются. Значит, $AA_1$ и $BD_1$ не параллельны.
2. Пересечение: Прямая $AA_1$ целиком лежит в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Точка $B$ не принадлежит этой плоскости. Прямая $BD_1$ соединяет точку $B$ (вне плоскости) и точку $D_1$ (в плоскости), значит, она пересекает плоскость $ADD_1A_1$ в единственной точке — $D_1$. Точка $D_1$ не лежит на прямой $AA_1$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BD_1$ не пересекаются.
Так как прямые не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися. Через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.
Ответ: нет, нельзя.

4) A₁D и B₁C

Прямая $A_1D$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Прямая $B_1C$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. В кубе грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Отрезки $A_1D$ и $B_1C$ получаются параллельным переносом один из другого на вектор $\vec{AB}$. Следовательно, прямые $A_1D$ и $B_1C$ параллельны ($A_1D \parallel B_1C$). Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость (в данном случае это плоскость сечения $A_1DCB_1$).
Ответ: да, можно.

5) AD и B₁C

Прямая $AD$ — это ребро нижнего основания, а $B_1C$ — диагональ боковой грани. Проверим их взаимное расположение.
1. Параллельность: Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Прямые $BC$ и $B_1C$ пересекаются в точке $C$. Следовательно, $AD$ и $B_1C$ не параллельны.
2. Пересечение: Прямая $AD$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Прямая $B_1C$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Эти плоскости параллельны ($ (ADD_1) \parallel (BCC_1) $). Прямые, лежащие в параллельных плоскостях, могут быть только параллельными или скрещивающимися. Так как мы установили, что они не параллельны, они являются скрещивающимися.
Альтернативно: прямая $AD$ лежит в плоскости $x=0$ (если поместить вершину $D$ в начало координат), а прямая $B_1C$ — в плоскости $x=a$ (где $a$ — длина ребра). Эти плоскости параллельны, значит прямые не пересекаются.
Ответ: нет, нельзя.

Проходит ли плоскость BDD₁ через точку B₁?

Плоскость $BDD_1$ определяется тремя точками $B$, $D$ и $D_1$. Эта плоскость содержит прямую $DD_1$. Ребро $BB_1$ параллельно ребру $DD_1$. Через две параллельные прямые ($BB_1$ и $DD_1$) проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит все точки обеих прямых, в частности точки $B, B_1, D, D_1$. Таким образом, плоскость, определенная точками $B, D, D_1$, совпадает с плоскостью, проходящей через параллельные прямые $BB_1$ и $DD_1$. Следовательно, точка $B_1$ лежит в этой плоскости.
Ответ: да, проходит.