Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Принимая в качестве моделей плоскости стены, пол и потолок классной комнаты, укажите: а) параллельные прямые; б) пару пересекающихся прямых; в) пару скрещивающихся прямых; г) прямую и параллельную ей плоскость.

2. Покажите взаимное расположение скрещивающихся прямых с помощью двух карандашей.

а) параллельные прямые; В качестве модели параллельных прямых в классной комнате можно рассмотреть две прямые, лежащие в плоскости одной стены: линию пересечения стены с потолком и линию пересечения той же стены с полом. Эти прямые лежат в одной плоскости, но не пересекаются, следовательно, они параллельны.
Ответ: Линия пересечения потолка и стены и линия пересечения пола и той же стены.

б) пару пересекающихся прямых; Пересекающиеся прямые — это прямые, имеющие одну общую точку. Примером служат две прямые, лежащие в плоскости пола: линия пересечения пола с передней стеной и линия пересечения пола с боковой стеной. Они пересекаются в углу комнаты, образуя общую точку.
Ответ: Линия пересечения пола с передней стеной и линия пересечения пола с боковой стеной.

в) пару скрещивающихся прямых; Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы найти такой пример, возьмем прямую, являющуюся линией пересечения пола и передней стены, и вторую прямую — вертикальную линию пересечения задней и боковой стен. Эти две прямые не параллельны и не пересекаются, так как лежат в разных плоскостях и не имеют общих точек.
Ответ: Линия пересечения пола с передней стеной и вертикальная линия пересечения задней и боковой стен.

г) прямую и параллельную ей плоскость. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки. Примером может служить любая прямая, образованная пересечением потолка и одной из стен. Эта прямая будет параллельна плоскости пола.
Ответ: Прямая, являющаяся линией пересечения потолка и стены, и плоскость пола.

2. Чтобы показать взаимное расположение скрещивающихся прямых с помощью двух карандашей, необходимо продемонстрировать, что они не параллельны и не пересекаются. Для этого:
1. Возьмите один карандаш (прямая a) и расположите его горизонтально, например, на поверхности стола.
2. Возьмите второй карандаш (прямая b) и держите его в воздухе над первым карандашом, но не параллельно ему, а под некоторым углом (например, так, чтобы он был направлен от вас к стене).
Карандаши не соприкасаются (не пересекаются) и не параллельны друг другу. Это и есть модель скрещивающихся прямых.

Ответ: Один карандаш располагается горизонтально, а второй удерживается над ним под углом так, чтобы они не касались друг друга.

1.24. На рис. 1.27 изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Определите расположение прямых относительно друг друга:

1) $AA_1$ и $BB_1$;

2) $A_1B$ и $D_1C_1$;

3) $AD$ и $BB_1$;

4) $AB$ и $DD_1$;

5) $A_1D$ и $B_1C$;

6) $BD_1$ и $B_1C$.

Рис. 1.27

На рисунке изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для определения взаимного расположения прямых в пространстве необходимо выяснить, лежат ли они в одной плоскости. Если да, то они могут быть либо параллельными (не имеют общих точек), либо пересекающимися (имеют одну общую точку). Если прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися.

1) $AA_1$ и $BB_1$

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ являются боковыми ребрами куба. Они лежат в одной плоскости — плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Так как грань куба является квадратом, а $AA_1$ и $BB_1$ — его противоположные стороны, то они параллельны.
Ответ: параллельные прямые.

2) $A_1B_1$ и $D_1C_1$

Прямые $A_1B_1$ и $D_1C_1$ являются ребрами верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Они лежат в плоскости этой грани. Грань $A_1B_1C_1D_1$ — это квадрат, а $A_1B_1$ и $D_1C_1$ — его противоположные стороны. Следовательно, эти прямые параллельны.
Ответ: параллельные прямые.

3) $AD$ и $BB_1$

Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $BB_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, которая не принадлежит прямой $AD$. Это означает, что прямые $AD$ и $BB_1$ не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Проверим их на параллельность. Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$). Прямая $BC$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B$. По признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая ($AD$) параллельна некоторой прямой ($BC$), которая пересекает вторую прямую ($BB_1$), то первая и вторая прямые скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся прямые.

4) $AB$ и $DD_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $DD_1$ является боковым ребром и пересекает плоскость основания в точке $D$, которая не лежит на прямой $AB$. Значит, прямые $AB$ и $DD_1$ не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся. Они не пересекаются и не параллельны (прямая $DD_1$ параллельна ребру $AA_1$, которое пересекает прямую $AB$).
Ответ: скрещивающиеся прямые.

5) $A_1D$ и $B_1C$

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно и равно ребру $DC$ (поскольку оба они параллельны и равны ребру $AB$). Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $A_1B_1CD$ — это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому прямая $A_1D$ параллельна прямой $B_1C$.
Ответ: параллельные прямые.

6) $BD_1$ и $B_1C$

Прямая $B_1C$ является диагональю боковой грани и целиком лежит в плоскости этой грани $(BCC_1B_1)$. Прямая $BD_1$ является диагональю куба. Она пересекает плоскость грани $(BCC_1B_1)$ в точке $B$. Точка $B$ не принадлежит прямой $B_1C$. По признаку скрещивающихся прямых, если одна прямая пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей второй прямой, то эти прямые скрещиваются. Таким образом, $BD_1$ и $B_1C$ — скрещивающиеся прямые.
Ответ: скрещивающиеся прямые.

1.25. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Можно ли провести плоскость через прямые:

1) $AB$ и $BD_1$;

2) $BB_1$ и $DD_1$;

3) $AA_1$ и $BD_1$;

4) $A_1D$ и $B_1C$;

5) $AD$ и $B_1C$?

Проходит ли плоскость $BDD_1$ через точку $B_1$?

Для решения задачи воспользуемся аксиомами и теоремами стереометрии. Плоскость через две прямые можно провести тогда и только тогда, когда эти прямые либо пересекаются, либо параллельны. Если прямые скрещивающиеся, то провести через них одну плоскость невозможно.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображенный на рисунке.

1) AB и BD₁

Прямые $AB$ и $BD_1$ имеют общую точку $B$. По определению, прямые, имеющие одну общую точку, являются пересекающимися. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Эта плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, точками $A$, $B$ и $D_1$.
Ответ: да, можно.

2) BB₁ и DD₁

Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами куба. В кубе все боковые ребра параллельны друг другу. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. В данном случае это плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$.
Ответ: да, можно.

3) AA₁ и BD₁

Прямая $AA_1$ — это боковое ребро куба, а $BD_1$ — диагональ куба. Проверим, являются ли эти прямые пересекающимися или параллельными.
1. Параллельность: Прямая $AA_1$ параллельна ребру $DD_1$. Прямая $BD_1$ пересекает прямую $DD_1$ в точке $D_1$. Если бы $AA_1$ была параллельна $BD_1$, то по свойству транзитивности параллельности прямых, $DD_1$ была бы параллельна $BD_1$, что невозможно, так как они пересекаются. Значит, $AA_1$ и $BD_1$ не параллельны.
2. Пересечение: Прямая $AA_1$ целиком лежит в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Точка $B$ не принадлежит этой плоскости. Прямая $BD_1$ соединяет точку $B$ (вне плоскости) и точку $D_1$ (в плоскости), значит, она пересекает плоскость $ADD_1A_1$ в единственной точке — $D_1$. Точка $D_1$ не лежит на прямой $AA_1$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BD_1$ не пересекаются.
Так как прямые не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися. Через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.
Ответ: нет, нельзя.

4) A₁D и B₁C

Прямая $A_1D$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Прямая $B_1C$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. В кубе грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Отрезки $A_1D$ и $B_1C$ получаются параллельным переносом один из другого на вектор $\vec{AB}$. Следовательно, прямые $A_1D$ и $B_1C$ параллельны ($A_1D \parallel B_1C$). Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость (в данном случае это плоскость сечения $A_1DCB_1$).
Ответ: да, можно.

5) AD и B₁C

Прямая $AD$ — это ребро нижнего основания, а $B_1C$ — диагональ боковой грани. Проверим их взаимное расположение.
1. Параллельность: Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Прямые $BC$ и $B_1C$ пересекаются в точке $C$. Следовательно, $AD$ и $B_1C$ не параллельны.
2. Пересечение: Прямая $AD$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Прямая $B_1C$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Эти плоскости параллельны ($ (ADD_1) \parallel (BCC_1) $). Прямые, лежащие в параллельных плоскостях, могут быть только параллельными или скрещивающимися. Так как мы установили, что они не параллельны, они являются скрещивающимися.
Альтернативно: прямая $AD$ лежит в плоскости $x=0$ (если поместить вершину $D$ в начало координат), а прямая $B_1C$ — в плоскости $x=a$ (где $a$ — длина ребра). Эти плоскости параллельны, значит прямые не пересекаются.
Ответ: нет, нельзя.

Проходит ли плоскость BDD₁ через точку B₁?

Плоскость $BDD_1$ определяется тремя точками $B$, $D$ и $D_1$. Эта плоскость содержит прямую $DD_1$. Ребро $BB_1$ параллельно ребру $DD_1$. Через две параллельные прямые ($BB_1$ и $DD_1$) проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит все точки обеих прямых, в частности точки $B, B_1, D, D_1$. Таким образом, плоскость, определенная точками $B, D, D_1$, совпадает с плоскостью, проходящей через параллельные прямые $BB_1$ и $DD_1$. Следовательно, точка $B_1$ лежит в этой плоскости.
Ответ: да, проходит.

1.26. Прямая $a$ и плоскость $\beta$ пересекаются. Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую $a$ параллельно прямой $b$ ($b \subset \beta$)? Здесь $a \cap b = \emptyset$. Как называются прямые $a$ и $b$?

Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую a параллельно прямой b ($b \subset \beta$)?

Да, такую плоскость провести можно, и она будет единственной. Рассмотрим алгоритм построения такой плоскости и докажем, что она удовлетворяет заданным условиям.

Дано:
1. Прямая $a$ и плоскость $\beta$ пересекаются: $a \cap \beta = \{M\}$.
2. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$: $b \subset \beta$.
3. Прямые $a$ и $b$ не пересекаются: $a \cap b = \emptyset$.

Построение:
1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$.
2. Через точку $P$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$). В пространстве через любую точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $P$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

Доказательство:
Построенная плоскость $\gamma$ содержит прямую $a$ по построению ($a \subset \gamma$).
Также плоскость $\gamma$ содержит прямую $b'$, которая параллельна прямой $b$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($b$), не лежащая в данной плоскости ($\gamma$), параллельна некоторой прямой ($b'$), лежащей в этой плоскости, то исходная прямая параллельна самой плоскости. Следовательно, $b \parallel \gamma$.

Таким образом, мы доказали, что можно провести плоскость $\gamma$, проходящую через прямую $a$ и параллельную прямой $b$.

Ответ: Да, можно.

Как называются прямые a и b?

Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $b$ в пространстве. Две прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися.

1. Прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, так как по условию $a \cap b = \emptyset$.
2. Прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными. Если бы мы предположили, что $a \parallel b$, то из этого и из того, что $b \subset \beta$, следовало бы по признаку параллельности прямой и плоскости, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ (или лежит в ней). Однако это противоречит условию задачи, согласно которому прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$.
3. Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Условия, данные в задаче (одна прямая пересекает плоскость, а другая лежит в этой плоскости, но не пересекает первую прямую), являются признаком скрещивающихся прямых.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ называются скрещивающимися.

1.27. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Покажите среди прямых $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ скрещивающиеся пары прямых. Сколько таких пар? Сделайте чертеж.

Поскольку точки $A, B, C$ и $D$ не лежат в одной плоскости, они являются вершинами пространственной фигуры — тетраэдра. Прямые $AB, AC, AD, BC, BD, CD$ являются ребрами этого тетраэдра.

Сделайте чертеж.

На чертеже изображен тетраэдр $ABCD$, где ребра $BC$ и $CD$ показаны штриховыми линиями как невидимые.

Покажите среди прямых AB, AC, AD, BC, BD, CD скрещивающиеся пары прямых.

Скрещивающимися называются прямые, которые не пересекаются и не параллельны, то есть не лежат в одной плоскости. В тетраэдре $ABCD$ скрещивающимися являются пары ребер, не имеющие общих вершин (такие ребра называются противоположными).
Рассмотрим, например, пару противоположных ребер $AB$ и $CD$. Если предположить, что они лежат в одной плоскости, то и все четыре вершины $A, B, C, D$ будут лежать в этой же плоскости, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ не лежат в одной плоскости, а значит, они скрещивающиеся.
Аналогичное рассуждение справедливо и для других пар противоположных ребер. Пары ребер, имеющие общую вершину (например, $AB$ и $AD$), пересекаются, лежат в одной плоскости (плоскости грани $ABD$) и не являются скрещивающимися.
Таким образом, скрещивающимися парами прямых являются:
1. $AB$ и $CD$
2. $AC$ и $BD$
3. $AD$ и $BC$

Сколько таких пар?

Как было установлено, скрещивающимися являются только пары противоположных ребер тетраэдра. В тетраэдре $ABCD$ имеется ровно три такие пары. Следовательно, существует 3 пары скрещивающихся прямых.

Ответ: Скрещивающимися парами прямых являются три пары противоположных ребер тетраэдра: ($AB$ и $CD$), ($AC$ и $BD$), ($AD$ и $BC$). Всего таких пар 3.

1.28. Являются ли прямые $AB$ и $CD$ параллельными, если $AD$ и $BC$ – скрещивающиеся прямые?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямые AB и CD параллельны.

По определению, если две прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость, содержащую прямые AB и CD, как $\alpha$.

Так как прямая AB лежит в плоскости $\alpha$, то точки A и B принадлежат этой плоскости. Аналогично, так как прямая CD лежит в плоскости $\alpha$, то точки C и D также принадлежат этой плоскости.Следовательно, все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости $\alpha$.

Если все четыре точки лежат в одной плоскости, то и любые прямые, проходящие через пары этих точек, также должны лежать в этой плоскости. В частности, прямая AD (проходящая через точки A и D) и прямая BC (проходящая через точки B и C) лежат в плоскости $\alpha$.

Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Они по определению не могут быть скрещивающимися.

Это приводит к противоречию с условием задачи, в котором сказано, что прямые AD и BC являются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые по определению не лежат в одной плоскости.

Поскольку наше первоначальное предположение (что AB и CD параллельны) привело к противоречию, оно является неверным.

Ответ: Нет, прямые AB и CD не являются параллельными.

1.29. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ и $B$, являющиеся серединами отрезков $OP$ и $OQ$ соответственно. Найдите $AB$, если $PQ = 8$ см (рис. 1.28).

Рис. 1.28

Рассмотрим треугольник $OPQ$. Согласно условию задачи, точки $A$ и $B$ являются серединами отрезков $OP$ и $OQ$ соответственно. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Следовательно, отрезок $AB$ является средней линией треугольника $OPQ$.

По теореме о средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна половине её длины. В данном случае, третьей стороной является отрезок $PQ$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна половине длины отрезка $PQ$, что можно записать в виде формулы: $AB = \frac{1}{2}PQ$.

Подставив известное из условия значение $PQ = 8$ см, находим длину $AB$: $AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.

1.30. Точка $C$ – середина отрезка $AB$. Параллельные прямые, проходящие через точки $A$, $B$ и $C$, пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, причем отрезок $AB$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Найдите $CC_1$, если:

1) $AA_1 = 3 \text{ см}$, $BB_1 = 5 \text{ см}$;

2) $AA_1 = 2,3 \text{ м},$ $BB_1 = 3,7 \text{ м}$;

3) $AA_1 = a$, $BB_1 = b.$

Поскольку по условию задачи параллельные прямые проходят через точки A, B и C и пересекают плоскость α в точках A₁, B₁ и C₁, то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны между собой ($AA₁ \parallel BB₁ \parallel CC₁$).

Так как две параллельные прямые AA₁ и BB₁ определяют плоскость, то точки A, B, B₁, A₁ лежат в одной плоскости. Фигура, образованная этими точками, ABB₁A₁ — это трапеция, поскольку у нее две стороны (основания AA₁ и BB₁) параллельны, а две другие (боковые стороны AB и A₁B₁) в общем случае не параллельны.

Точка C является серединой боковой стороны AB трапеции ABB₁A₁. Отрезок CC₁ параллелен основаниям трапеции AA₁ и BB₁. По свойству трапеции, отрезок, проведенный через середину боковой стороны параллельно основаниям, является средней линией трапеции. Следовательно, CC₁ — средняя линия трапеции ABB₁A₁.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Для трапеции ABB₁A₁ формула будет выглядеть так:
$CC₁ = \frac{AA₁ + BB₁}{2}$

Применим эту формулу для решения задачи.

1) Если $AA₁ = 3$ см, $BB₁ = 5$ см, то:
$CC₁ = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

2) Если $AA₁ = 2,3$ м, $BB₁ = 3,7$ м, то:
$CC₁ = \frac{2,3 + 3,7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.
Ответ: 3 м.

3) Если $AA₁ = a$, $BB₁ = b$, то:
$CC₁ = \frac{a + b}{2}$.
Ответ: $\frac{a + b}{2}$.