Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Покажите параллельные прямые, проходящие через ребра параллелепипеда, пары скрещивающихся прямых, диагонали параллелепипеда. Имеются ли в параллелепипеде скрещивающиеся диагонали? Есть ли скрещивающиеся прямые среди диагоналей граней параллелепипеда и его диагоналями?

Для ответа на вопросы рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ – верхнее основание. Вершины соединены боковыми ребрами $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.

Параллельные прямые, проходящие через ребра параллелепипеда

В параллелепипеде 12 ребер. Они образуют три группы по четыре взаимно параллельных ребра в каждой группе. Прямые, содержащие эти ребра, параллельны.

1. Группа ребер, параллельных ребру $AB$: $AB \parallel DC \parallel A_1B_1 \parallel D_1C_1$. Эти ребра являются сторонами "передней" и "задней" граней ($ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$), а также "верхней" и "нижней" ($A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$).
2. Группа ребер, параллельных ребру $AD$: $AD \parallel BC \parallel A_1D_1 \parallel B_1C_1$. Эти ребра являются сторонами "боковых" граней ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$), а также "верхней" и "нижней".
3. Группа боковых ребер: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

Ответ: Примерами параллельных прямых, проходящих через ребра, являются прямые $(AB)$ и $(D_1C_1)$, $(AD)$ и $(B_1C_1)$, $(AA_1)$ и $(CC_1)$.

Пары скрещивающихся прямых

Скрещивающиеся прямые – это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны друг другу. В параллелепипеде много пар ребер, через которые проходят скрещивающиеся прямые.

Возьмем ребро $AB$. Прямые, проходящие через ребра, которые с ним скрещиваются, не должны лежать в одной грани с $AB$ и не должны быть ему параллельны. Такими ребрами являются:
- Боковые ребра, не имеющие общих вершин с ребром $AB$: $DD_1$ и $CC_1$.
- Ребра верхнего основания, не параллельные ребру $AB$: $A_1D_1$ и $B_1C_1$.
Таким образом, прямая $(AB)$ скрещивается с прямыми $(DD_1)$, $(CC_1)$, $(A_1D_1)$ и $(B_1C_1)$.

Ответ: Примерами пар скрещивающихся прямых, проходящих через ребра, являются $(AB)$ и $(CC_1)$, а также $(AD)$ и $(B_1A_1)$.

Диагонали параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной и той же грани. У параллелепипеда всего четыре диагонали. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии параллелепипеда.

Для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагоналями являются отрезки:
1. $AC_1$
2. $BD_1$
3. $CA_1$
4. $DB_1$

Ответ: Диагоналями параллелепипеда являются отрезки $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, $DB_1$.

Имеются ли в параллелепипеде скрещивающиеся диагонали?

Как было упомянуто выше, все четыре диагонали параллелепипеда ($AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$) пересекаются в одной точке. Две прямые, имеющие общую точку, являются пересекающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не должны пересекаться. Следовательно, никакие две диагонали параллелепипеда не могут быть скрещивающимися.

Ответ: Нет, в параллелепипеде нет скрещивающихся диагоналей.

Есть ли скрещивающиеся прямые среди диагоналей граней параллелепипеда и его диагоналями?

Да, такие прямые есть. Рассмотрим диагональ параллелепипеда и диагональ одной из его граней.

Возьмем диагональ параллелепипеда $AC_1$.
Теперь возьмем диагональ грани $ABCD$, например, диагональ $BD$.
Прямая $(BD)$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
Прямая $(AC_1)$ пересекает эту плоскость в одной точке – вершине $A$.
Поскольку точка $A$ не лежит на прямой $(BD)$ (в невырожденном параллелограмме), то прямые $(AC_1)$ и $(BD)$ не пересекаются.
Эти прямые также не параллельны, так как одна из них ($BD$) лежит в плоскости основания, а другая ($AC_1$) пересекает эту плоскость.
Так как прямые $(AC_1)$ и $(BD)$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Да, есть. Например, диагональ параллелепипеда $AC_1$ и диагональ основания $BD$ являются скрещивающимися.

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. Какие прямые называются скрещивающимися? Всегда ли параллельны непересекающиеся прямые?

3. Какие свойства параллельных прямых вы знаете?

4. Какую прямую называют параллельной данной плоскости?

5. Как в пространстве могут располагаться прямая и плоскость?

6. Какая фигура называется тетраэдром? Назовите его элементы.

7. Какая фигура называется параллелепипедом? Назовите его элементы.

8. Какие правила применяют при изображении пространственных тел на плоскости? Приведите пример.

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. По определению, совпадающие прямые также считаются параллельными. Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, это обозначается как $a \parallel b$.

Ответ: Две прямые в пространстве, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными.

2. Какие прямые называются скрещивающимися? Всегда ли параллельны непересекающиеся прямые?

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что через них невозможно провести одну общую плоскость. Скрещивающиеся прямые никогда не пересекаются и не являются параллельными.

Непересекающиеся прямые в пространстве не всегда параллельны. Если две непересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны. Однако если они лежат в разных плоскостях, то они являются скрещивающимися. Таким образом, скрещивающиеся прямые — это пример непересекающихся, но не параллельных прямых.

Ответ: Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости. Непересекающиеся прямые не всегда параллельны; они могут быть скрещивающимися.

3. Какие свойства параллельных прямых вы знаете?

Основные свойства и теоремы, связанные с параллельными прямыми в пространстве:

• Аксиома параллельных прямых: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
• Свойство транзитивности: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. То есть, если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.
• Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
• Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Ответ: Основные свойства: 1) через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; 2) две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (транзитивность).

4. Какую прямую называют параллельной данной плоскости?

Прямая называется параллельной данной плоскости, если у них нет ни одной общей точки. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, это записывается как $a \parallel \alpha$.

Существует также признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Ответ: Прямая, не имеющая с плоскостью общих точек, называется параллельной этой плоскости.

5. Как в пространстве могут располагаться прямая и плоскость?

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

• Прямая пересекает плоскость: у прямой и плоскости есть ровно одна общая точка.
• Прямая параллельна плоскости: у прямой и плоскости нет общих точек.
• Прямая лежит в плоскости: все точки прямой принадлежат плоскости, то есть у них бесконечно много общих точек.

Ответ: Прямая и плоскость в пространстве могут: 1) пересекаться в одной точке, 2) быть параллельными (не иметь общих точек), 3) прямая может лежать в плоскости.

6. Какая фигура называется тетраэдром? Назовите его элементы.

Тетраэдр — это многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников. Его также можно определить как треугольную пирамиду.

Элементы тетраэдра:

• Вершины: 4 точки, которые являются вершинами треугольных граней.
• Ребра: 6 отрезков, которые являются сторонами граней и соединяют вершины.
• Грани: 4 треугольника, которые образуют поверхность тетраэдра.

Ответ: Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Его элементы: 4 вершины, 6 ребер и 4 грани.

7. Какая фигура называется параллелепипедом? Назовите его элементы.

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Элементы параллелепипеда:

• Вершины: 8 точек, являющихся концами ребер.
• Ребра: 12 отрезков, являющихся сторонами граней.
• Грани: 6 параллелограммов, которые ограничивают параллелепипед.
• Диагонали: отрезки, соединяющие две вершины, не принадлежащие одной грани (всего 4 диагонали).

Ответ: Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых — параллелограмм. Его элементы: 8 вершин, 12 ребер, 6 граней.

8. Какие правила применяют при изображении пространственных тел на плоскости? Приведите пример.

При изображении пространственных тел на плоскости (например, на листе бумаги) используют метод параллельного проецирования. Он подчиняется следующим основным правилам:

• Отрезки изображаются отрезками.
• Параллельные отрезки в пространстве изображаются на плоскости параллельными отрезками или отрезками, лежащими на одной прямой.
• Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. Однако сами длины отрезков и величины углов, как правило, искажаются.
• Видимые линии изображаются сплошными, а невидимые — штриховыми (пунктирными).

Пример: Изображение параллелепипеда. Все его грани — параллелограммы, а ребра, параллельные в пространстве, остаются параллельными и на рисунке. Ребра, которые скрыты от наблюдателя другими гранями, изображаются штриховыми линиями.

Ниже представлено изображение параллелепипеда, выполненное по этим правилам:

Ответ: Применяют правила параллельного проецирования: параллельные линии остаются параллельными, сохраняется отношение длин параллельных отрезков, а невидимые линии изображаются штрихами. Пример — изображение куба или параллелепипеда.