Номер 1.22, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. Необходимо ли пересечение прямых a и c, если $a \cap b = A,$ $b \cap c = B?$

Нет, пересечение прямых $a$ и $c$ не является необходимым. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть случаи, когда прямые не пересекаются, но удовлетворяют заданным условиям $a \cap b = A$ и $b \cap c = B$.

Рассмотрим общий случай, когда точки пересечения различны, то есть $A \neq B$. В этой ситуации возможны два сценария, в которых прямые $a$ и $c$ не пересекаются.

1. Прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости (копланарны).
В этом случае прямые $a$ и $c$ могут быть параллельны. Прямая $b$ будет играть роль секущей, пересекающей параллельные прямые $a$ и $c$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Так как параллельные прямые не пересекаются ($a \cap c = \emptyset$), но условия $a \cap b = A$ и $b \cap c = B$ выполнены, это служит контрпримером.

2. Прямые $a, b, c$ не лежат в одной плоскости.
Условие $a \cap b = A$ задает плоскость $\Pi$, в которой лежат прямые $a$ и $b$. Аналогично, условие $b \cap c = B$ задает плоскость $\Sigma$, содержащую $b$ и $c$. Если плоскости $\Pi$ и $\Sigma$ не совпадают, они пересекаются по общей прямой $b$.
В этом случае прямая $a$ лежит в плоскости $\Pi$, а прямая $c$ — в плоскости $\Sigma$. Две прямые, лежащие в разных плоскостях, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися. Их пересечение возможно только если точка пересечения лежит на линии пересечения плоскостей (на прямой $b$). Если бы $a$ и $c$ пересекались в точке $P$, то $P$ должна была бы принадлежать и $a$, и $c$, и $b$. Из этого следовало бы, что $P = A$ и $P = B$, а значит $A=B$, что противоречит нашему предположению. Следовательно, при $A \neq B$ в этом пространственном случае прямые $a$ и $c$ являются скрещивающимися и не пересекаются.

Поскольку существуют сценарии (параллельные в плоскости и скрещивающиеся в пространстве), при которых условия задачи выполняются, а прямые $a$ и $c$ не пересекаются, то их пересечение не является необходимым.

Стоит отметить, что если бы точки пересечения совпали ($A=B$), то все три прямые проходили бы через одну точку, и пересечение прямых $a$ и $c$ было бы обязательным.

Ответ: Нет, пересечение прямых $a$ и $c$ не является необходимым.