Номер 1.19, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Покажите, что через любую точку в пространстве можно провести плоскость.

Для доказательства данного утверждения мы будем опираться на основные аксиомы стереометрии, которые определяют свойства точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Пусть $A$ — произвольная точка в пространстве. Нам необходимо доказать, что существует по крайней мере одна плоскость, которая проходит через эту точку $A$.

Рассуждение можно построить следующим образом:

1. Возьмем произвольную точку $A$ в пространстве.
2. Согласно аксиомам геометрии, пространство не состоит из одной точки. Следовательно, в пространстве существует как минимум еще одна точка, отличная от $A$. Назовем ее $B$.
3. Также из аксиом следует, что пространство не является прямой линией. Это означает, что существует точка $C$, которая не лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Таким образом, мы всегда можем найти три точки — $A$, $B$ и $C$ — которые не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными).

Теперь обратимся к одной из фундаментальных аксиом стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Поскольку построенные нами точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, через них можно провести единственную плоскость (обозначим её $\alpha$). По самому построению эта плоскость $\alpha$ содержит все три точки, включая и исходную точку $A$.

Так как точка $A$ была выбрана произвольно, это доказывает, что через любую точку в пространстве можно провести плоскость.

Ответ: Утверждение доказано. Для того чтобы провести плоскость через любую заданную точку $A$ в пространстве, достаточно выбрать еще две точки $B$ и $C$ таким образом, чтобы все три точки $A$, $B$ и $C$ не лежали на одной прямой. Существование таких точек гарантируется аксиомами стереометрии. Согласно аксиоме о плоскости, через эти три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость, которая, следовательно, проходит и через точку $A$.