Номер 1.13, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.13. Если точки $A, B \in \alpha$, то отрезок $AB \subset \alpha$. Докажите и сформулируйте данное утверждение.

Формулировка данного утверждения

Утверждение, представленное в задаче, является следствием одной из фундаментальных аксиом стереометрии. Его можно сформулировать словами следующим образом:
Если две различные точки принадлежат некоторой плоскости, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, также целиком принадлежит этой плоскости.

Ответ: Если две точки принадлежат плоскости, то отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит этой плоскости.

Доказательство данного утверждения

Для доказательства мы будем опираться на аксиомы стереометрии.

Дано: Две различные точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. В математической записи: $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$.
Доказать: Отрезок $AB$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. В математической записи: $AB \subset \alpha$.

Доказательство:
1. Согласно аксиоме планиметрии, через две различные точки $A$ и $B$ можно провести прямую, и притом только одну. Обозначим эту прямую буквой $l$. Таким образом, точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$ ($A \in l$, $B \in l$).
2. По условию задачи, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$.
3. Воспользуемся ключевой аксиомой стереометрии (Аксиома 2): Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
4. Поскольку две точки ($A$ и $B$) прямой $l$ принадлежат плоскости $\alpha$, то на основании этой аксиомы мы можем заключить, что вся прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$. То есть, $l \subset \alpha$.
5. По определению, отрезок $AB$ — это часть прямой $l$, состоящая из точек $A$, $B$ и всех точек прямой $l$, лежащих между $A$ и $B$. Следовательно, отрезок $AB$ является подмножеством прямой $l$ ($AB \subset l$).
6. Так как вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, а отрезок $AB$ является частью этой прямой, то все точки отрезка $AB$ также должны лежать в плоскости $\alpha$.
7. Таким образом, доказано, что $AB \subset \alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основывается на аксиоме стереометрии: если две точки прямой ($A$ и $B$) принадлежат плоскости ($\alpha$), то вся прямая, проходящая через эти точки, также принадлежит этой плоскости ($l \subset \alpha$). Отрезок $AB$ является частью прямой $l$, поэтому он также принадлежит плоскости $\alpha$.