Номер 1.14, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.14. Даны плоскость $ \alpha $ и точки $ A, B $ такие, что $ A \in \alpha $, $ B \notin \alpha $. Лежит ли в плоскости $ \alpha $:

1) середина отрезка $ AB $;

2) отрезок $ AB $;

3) прямая $ AB $?

Обоснуйте ответ.

Для наглядности представим данную ситуацию на рисунке, где плоскость $\alpha$ изображена в виде параллелограмма, точка $A$ лежит на этой плоскости, а точка $B$ находится вне ее (например, над ней). Точка $M$ — середина отрезка $AB$.

1) середина отрезка AB

Обоснование: Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$. По условию задачи точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ не лежит в этой плоскости ($B \notin \alpha$). Это означает, что прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, пересекает эту плоскость, то она имеет с ней только одну общую точку. Для прямой $AB$ и плоскости $\alpha$ этой единственной общей точкой является точка $A$. Так как точки $A$ и $B$ различны (иначе точка $B$ лежала бы в плоскости $\alpha$), середина отрезка $AB$, точка $M$, не совпадает с точкой $A$. Поскольку $M$ лежит на прямой $AB$ и $M \neq A$, точка $M$ не может лежать в плоскости $\alpha$.
Ответ: нет, не лежит.

2) отрезок AB

Обоснование: Для того чтобы отрезок лежал в плоскости, необходимо, чтобы обе его концевые точки принадлежали этой плоскости. По условию, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), но точка $B$ ей не принадлежит ($B \notin \alpha$). Так как одна из конечных точек отрезка $AB$ не лежит в плоскости $\alpha$, то и весь отрезок $AB$ не может лежать в этой плоскости. В плоскости $\alpha$ находится только одна точка данного отрезка — его конец, точка $A$.
Ответ: нет, не лежит.

3) прямая AB

Обоснование: Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Чтобы прямая $AB$ лежала в плоскости $\alpha$, необходимо, чтобы обе точки, $A$ и $B$, через которые она проходит, принадлежали плоскости $\alpha$. В условии сказано, что $A \in \alpha$, но $B \notin \alpha$. Так как точка $B$ не принадлежит плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AB$ не может лежать в этой плоскости. Прямая $AB$ лишь пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.
Ответ: нет, не лежит.