Номер 1.18, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Сформулируйте утверждения из предыдущей задачи.

Поскольку данная задача 1.18 ссылается на предыдущую задачу 1.17, для её решения необходимо знать содержание задачи 1.17. В типовых задачниках по дискретной математике, задача 1.17 обычно просит сформулировать обратные, противоположные и контрапозитивные утверждения для ряда импликаций. Задача 1.18, «Сформулируйте утверждения из предыдущей задачи», в этом контексте означает формализацию исходных утверждений в виде логических выражений. Это включает в себя определение элементарных высказываний и запись исходного сложного высказывания через них с использованием логических связок.

Ниже представлены формулировки для каждого из утверждений, которые обычно приводятся в задаче 1.17.

а) Исходное утверждение: «Если идёт дождь, то дороги мокрые».
Это утверждение является условным (импликацией). Для его формализации введем два простых высказывания:
$P$: «Идёт дождь».
$Q$: «Дороги мокрые».
Тогда исходное утверждение можно сформулировать в виде логической импликации от $P$ к $Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Идёт дождь», а $Q$ — высказывание «Дороги мокрые».

б) Исходное утверждение: «Если четырёхугольник является квадратом, то он является прямоугольником».
Сформулируем это утверждение для произвольного четырёхугольника. Введем высказывания:
$P$: «Данный четырёхугольник является квадратом».
$Q$: «Данный четырёхугольник является прямоугольником».
Утверждение представляет собой импликацию.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Данный четырёхугольник является квадратом», а $Q$ — высказывание «Данный четырёхугольник является прямоугольником».

в) Исходное утверждение: «Если число делится на 6, то оно делится на 3».
Сформулируем это утверждение для произвольного целого числа $n$. Введем высказывания:
$P$: «Число $n$ делится на 6».
$Q$: «Число $n$ делится на 3».
Утверждение является импликацией.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Число $n$ делится на 6», а $Q$ — высказывание «Число $n$ делится на 3».

г) Исходное утверждение: «Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке».
Сформулируем это утверждение для произвольной функции $f$ и точки $x_0$ из её области определения. Введем высказывания:
$P$: «Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$».
$Q$: «Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$».
Утверждение является импликацией.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$», а $Q$ — высказывание «Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$».

д) Исходное утверждение: «Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным».
Лингвистическая конструкция «для $A$ необходимо $B$» означает, что из истинности $A$ следует истинность $B$. Это эквивалентно импликации «Если $A$, то $B$». Введем высказывания для произвольного треугольника:
$P$: «Треугольник является равносторонним».
$Q$: «Треугольник является равнобедренным».
Таким образом, исходное утверждение формулируется как импликация $P \implies Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Треугольник является равносторонним», а $Q$ — высказывание «Треугольник является равнобедренным».

е) Исходное утверждение: «Для того чтобы четырёхугольник был ромбом, достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны и делились точкой пересечения пополам».
Лингвистическая конструкция «для $B$ достаточно $A$» означает, что из истинности $A$ следует истинность $B$. Это эквивалентно импликации «Если $A$, то $B$». Введем высказывания для произвольного четырёхугольника:
$P$: «Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам».
$Q$: «Четырёхугольник является ромбом».
Таким образом, исходное утверждение формулируется как импликация $P \implies Q$.
Ответ: Утверждение имеет вид $P \implies Q$, где $P$ — высказывание «Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам», а $Q$ — высказывание «Четырёхугольник является ромбом».