Номер 1.16, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. Даны плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ и точки $A, B, C$ такие, что $A \in \alpha, B \in \alpha, B \in \beta, C \in \beta, A \in \gamma, C \in \gamma$. Постройте чертеж, укажите данные плоскости и точки.

Проанализируем данные условия задачи.

1. Из условия, что точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha, B \in \alpha$), следует, что вся прямая, проходящая через эти точки (прямая $AB$), лежит в плоскости $\alpha$. То есть, $AB \subset \alpha$.

2. Аналогично, из $B \in \beta$ и $C \in \beta$ следует, что прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$. То есть, $BC \subset \beta$.

3. И из $A \in \gamma$ и $C \in \gamma$ следует, что прямая $AC$ лежит в плоскости $\gamma$. То есть, $AC \subset \gamma$.

Теперь рассмотрим пересечение данных плоскостей. Три плоскости могут пересекаться по-разному, но из условий задачи мы можем определить их взаимное расположение.

- Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $B$ (поскольку $B \in \alpha$ и $B \in \beta$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $B$.

- Плоскости $\beta$ и $\gamma$ имеют общую точку $C$ (поскольку $C \in \beta$ и $C \in \gamma$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $C$.

- Плоскости $\gamma$ и $\alpha$ имеют общую точку $A$ (поскольку $A \in \gamma$ и $A \in \alpha$). Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $A$.

Таким образом, мы имеем три плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, которые попарно пересекаются по трем прямым. В пространстве три такие прямые, являющиеся линиями пересечения трех плоскостей, либо параллельны друг другу (в этом случае плоскости образуют трехгранную призму), либо пересекаются в одной точке.

Рассмотрим более общий случай, когда прямые пересечения пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Пусть $l_A = \gamma \cap \alpha$, $l_B = \alpha \cap \beta$, и $l_C = \beta \cap \gamma$. Тогда $A \in l_A$, $B \in l_B$, $C \in l_C$, и все три прямые $l_A, l_B, l_C$ проходят через точку $O$.

Из этого следует, что:

- Плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_A$ и $l_B$. Это плоскость, проходящая через точки $A, O, B$.

- Плоскость $\beta$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_B$ и $l_C$. Это плоскость, проходящая через точки $B, O, C$.

- Плоскость $\gamma$ определяется двумя пересекающимися прямыми $l_C$ и $l_A$. Это плоскость, проходящая через точки $C, O, A$.

Данная конфигурация представляет собой тетраэдр (трехгранную пирамиду) $OABC$. Плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ являются тремя гранями этого тетраэдра, сходящимися в вершине $O$. Точки $A, B, C$ являются тремя другими вершинами тетраэдра.

Построение чертежа:

1. Выбираем в пространстве точку $O$.

2. Проводим из нее три луча $OA, OB, OC$, не лежащие в одной плоскости.

3. Соединяем точки $A, B, C$ отрезками.

4. Полученный тетраэдр $OABC$ иллюстрирует заданную конфигурацию. Плоскость $\alpha$ — это плоскость грани $OAB$. Плоскость $\beta$ — это плоскость грани $OBC$. Плоскость $\gamma$ — это плоскость грани $OAC$.

Ответ:

Геометрическая конфигурация, удовлетворяющая условиям задачи, представляет собой три плоскости $\alpha, \beta, \gamma$, которые пересекаются по трем прямым, проходящим через одну общую точку $O$. Точки $A, B, C$ лежат на этих линиях пересечения. Плоскость $\alpha$ содержит точки $A, O, B$; плоскость $\beta$ содержит точки $B, O, C$; плоскость $\gamma$ содержит точки $C, O, A$. Данная конфигурация образует тетраэдр $OABC$, где $\alpha, \beta, \gamma$ являются плоскостями его боковых граней. Чертеж данной конфигурации представлен ниже.