Вопросы?, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Назовите основные понятия стереометрии. Какие основные взаимосвязи определены между ними?

3. Сформулируйте аксиомы CI, CII, CIII и поясните их смысл.

4. Сформулируйте следствия аксиом и докажите их.

5. Как обозначаются точки, прямые и плоскости?

6. Две прямые (две плоскости) пересекаются в точке (по прямой). Как это записывают?

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

Стереометрия (от древнегреческих слов στερεός — «объёмный, твёрдый» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в трёхмерном пространстве. В отличие от планиметрии, которая изучает фигуры на плоскости (двумерное пространство), стереометрия имеет дело с такими объектами, как куб, шар, конус, пирамида, а также с взаимным расположением точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Ответ: Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий пространственные фигуры и их свойства.

2. Назовите основные понятия стереометрии. Какие основные взаимосвязи определены между ними?

В стереометрии, как и в планиметрии, есть основные понятия, которые принимаются без определения. К ним относятся:

• Точка — не имеет размеров, является фундаментальным элементом.
• Прямая — имеет только одно измерение (длину), бесконечна в обе стороны.
• Плоскость — имеет два измерения (длину и ширину), бесконечна во всех направлениях.

Между этими основными понятиями определены следующие основные взаимосвязи (отношения):

• Отношение принадлежности (инцидентности): Это отношение описывает, какие объекты содержат другие. Например:
  • Точка принадлежит (или лежит на) прямой.
  • Точка принадлежит (или лежит в) плоскости.
  • Прямая принадлежит (или лежит в) плоскости.
  Для описания этого отношения также используются выражения «проходит через». Например, «прямая проходит через точку» или «плоскость проходит через прямую».
• Отношение порядка: Это отношение определяет, как точки расположены на прямой относительно друг друга (например, точка B лежит между точками A и C).

Ответ: Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость. Основные взаимосвязи между ними — это отношение принадлежности (точка лежит на прямой, прямая лежит в плоскости и т.д.) и отношение порядка (определяет взаимное расположение точек на прямой).

3. Сформулируйте аксиомы СI, СII, СIII и поясните их смысл.

Аксиомы стереометрии — это исходные положения, которые принимаются без доказательства и лежат в основе всех дальнейших рассуждений и теорем.

Аксиома СI: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Смысл: Эта аксиома утверждает, что три точки, не принадлежащие одной прямой (неколлинеарные точки), однозначно задают плоскость. Подобно тому, как две точки однозначно задают прямую, три точки (например, ножки табурета) однозначно задают плоскость, обеспечивая устойчивость. Если бы точки лежали на одной прямой, через них можно было бы провести бесконечно много плоскостей (как страницы в книге, вращающиеся вокруг переплета).

Аксиома СII: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Смысл: Эта аксиома устанавливает связь между прямой и плоскостью. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, она не может "выйти" из этой плоскости. Прямая целиком погружена в плоскость. Это означает, что прямая не может "прокалывать" плоскость в двух местах, не лежа в ней полностью.

Аксиома СIII: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Смысл: Эта аксиома определяет, как пересекаются плоскости. Две различные плоскости в пространстве не могут пересекаться только в одной точке. Если у них есть хотя бы одна общая точка, то они обязательно пересекаются по целой прямой. Это линия пересечения двух стен в комнате или линия сгиба на листе бумаги.

Ответ:
СI: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. (Смысл: три неколлинеарные точки однозначно определяют плоскость).
СII: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. (Смысл: прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, целиком лежит в этой плоскости).
СIII: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. (Смысл: плоскости пересекаются по прямым, а не по отдельным точкам).

4. Сформулируйте следствия аксиом и докажите их.

Из аксиом стереометрии вытекают важные следствия, которые также являются теоремами.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство:
Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$).
1. На прямой $a$ выберем две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Так как точка $M$ не лежит на прямой $a$, эти три точки не лежат на одной прямой.
3. Согласно аксиоме СI, через три точки $A$, $B$ и $M$, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем ее $\alpha$.
4. Так как точки $A$ и $B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме СII вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ по построению.
5. Таким образом, существует плоскость $\alpha$, проходящая через прямую $a$ и точку $M$. Эта плоскость единственна, так как любая другая плоскость, проходящая через $a$ и $M$, должна содержать точки $A$, $B$ и $M$, а по аксиоме СI такая плоскость только одна. Теорема доказана.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство:
Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.
1. На прямой $a$ выберем точку $A$, не совпадающую с точкой $M$.
2. На прямой $b$ выберем точку $B$, не совпадающую с точкой $M$.
3. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти точки не лежат на одной прямой, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ совпадали бы, что противоречит условию (прямые разные, хоть и пересекаются).
4. Согласно аксиоме СI, через три точки $A$, $B$ и $M$ проходит единственная плоскость $\alpha$.
5. Прямая $a$ проходит через точки $A$ и $M$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, по аксиоме СII, вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
6. Аналогично, прямая $b$ проходит через точки $B$ и $M$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, по аксиоме СII, вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
7. Таким образом, существует плоскость $\alpha$, проходящая через обе пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Эта плоскость единственна, так как она однозначно определяется тремя неколлинеарными точками $A$, $B$ и $M$. Теорема доказана.

Ответ:
Следствие 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Доказательство основано на выборе двух точек на прямой, что вместе с исходной точкой образует три неколлинеарные точки, которые по аксиоме СI задают единственную плоскость.
Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство основано на выборе по одной точке на каждой прямой (отличных от точки пересечения), что вместе с точкой пересечения образует три неколлинеарные точки, которые по аксиоме СI задают единственную плоскость.

5. Как обозначаются точки, прямые и плоскости?

В геометрии приняты стандартные обозначения для основных объектов:

• Точки: Обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами. Например, $A, B, C, M, K$.
• Прямые: Обозначаются строчными (маленькими) латинскими буквами. Например, $a, b, c, m, k$. Также прямую можно обозначить двумя заглавными буквами, соответствующими двум точкам, лежащим на этой прямой. Например, прямая $AB$.
• Плоскости: Обозначаются строчными греческими буквами. Например, $\alpha$ (альфа), $\beta$ (бета), $\gamma$ (гамма). Также плоскость можно обозначить тремя заглавными латинскими буквами, соответствующими трем точкам, не лежащим на одной прямой и принадлежащим этой плоскости. Например, плоскость $(ABC)$.

Ответ: Точки — заглавными латинскими буквами ($A, B, ...$). Прямые — строчными латинскими буквами ($a, b, ...$) или двумя заглавными ($AB, ...$). Плоскости — греческими буквами ($\alpha, \beta, ...$) или тремя заглавными латинскими буквами в скобках ($(ABC), ...$).

6. Две прямые (две плоскости) пересекаются в точке (по прямой). Как это записывают?

Для обозначения пересечения геометрических объектов используется символ пересечения множеств $ \cap $.

• Пересечение двух прямых: Если две прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, это записывается следующим образом:
  $a \cap b = M$
  Это читается как "прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $M$".
• Пересечение двух плоскостей: Если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, это записывается так:
  $\alpha \cap \beta = c$
  Это читается как "плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$".

Ответ: Пересечение двух прямых $a$ и $b$ в точке $M$ записывается как $a \cap b = M$. Пересечение двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ по прямой $c$ записывается как $\alpha \cap \beta = c$.