Номер 0.38, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.38. Найдите длину общей касательной окружностей радиусами $R$ и $r$, касающихся друг друга внешним образом.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ соответственно, которые касаются друг друга внешним образом. Расстояние между центрами таких окружностей равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R + r$.

Проведем общую внешнюю касательную $l$ к этим окружностям. Пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с окружностями с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $AB$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Таким образом, отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу, а четырехугольник $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$.

Для нахождения длины боковой стороны $AB$ опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности (для определенности, пусть это будет $O_2$) на радиус большей окружности $O_1A$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$.

В результате построения мы получили прямоугольник $ABO_2C$ и прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$.

Из свойств прямоугольника следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$:

- Гипотенуза $O_1O_2 = R + r$.
- Катет $O_1C = O_1A - AC = R - r$.
- Катет $CO_2$ равен искомой длине $AB$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

Подставим известные значения:

$(R + r)^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$

Выразим $(AB)^2$:

$(AB)^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(AB)^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$

$(AB)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2$

$(AB)^2 = 4Rr$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем длину общей касательной:

$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Ответ: Длина общей касательной равна $2\sqrt{Rr}$.