Номер 0.31, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.31. Диагональ трапеции делит трапецию на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, основаниями которых являются ее боковые стороны, равновелики.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — основания (BC || AD), а AB и CD — боковые стороны. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. При этом образуются четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Требуется доказать, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам (в условии они названы треугольниками, основаниями которых являются боковые стороны), равновелики, то есть их площади равны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание AD. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин B и C к основанию AD, равны между собой, так как они обе равны высоте трапеции (поскольку прямая BC, содержащая вершины B и C, параллельна прямой AD).

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Так как у треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ общее основание и равные высоты, то их площади равны:$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ является суммой площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части этих выражений:$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Вычитая из обеих частей равенства общую для них площадь треугольника $\triangle AOD$, получаем требуемое равенство:$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Таким образом, доказано, что треугольники, основаниями которых являются боковые стороны трапеции, равновелики.

Ответ: Утверждение доказано. Площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны.