Номер 0.34, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.34. Докажите формулу Герона, используя теорему Пифагора.

Для доказательства формулы Герона рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Обозначим длину высоты как $h$. Точка $H$ делит сторону $AB$ на два отрезка. Обозначим длину отрезка $AH$ как $x$, тогда длина отрезка $HB$ будет равна $c-x$.

Высота $CH$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$. Применим к каждому из них теорему Пифагора:

В $\triangle AHC$: $h^2 + x^2 = b^2$ (1)

В $\triangle BHC$: $h^2 + (c-x)^2 = a^2$ (2)

Выразим $h^2$ из обоих уравнений:

Из (1): $h^2 = b^2 - x^2$

Из (2): $h^2 = a^2 - (c-x)^2 = a^2 - (c^2 - 2cx + x^2) = a^2 - c^2 + 2cx - x^2$

Приравняем правые части этих выражений, чтобы найти $x$:$b^2 - x^2 = a^2 - c^2 + 2cx - x^2$

$b^2 = a^2 - c^2 + 2cx$

$2cx = b^2 - a^2 + c^2$

$x = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в формулу для $h^2$ из уравнения (1):$h^2 = b^2 - x^2 = b^2 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)^2$

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:$h^2 = \left(b - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right) \left(b + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$

Приведем к общему знаменателю выражения в скобках:$h^2 = \left(\frac{2bc - (b^2 + c^2 - a^2)}{2c}\right) \left(\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2c}\right)$

$h^2 = \left(\frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2c}\right) \left(\frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2c}\right)$

Перегруппируем слагаемые в числителях и выделим полные квадраты:$h^2 = \left(\frac{a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)}{2c}\right) \left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$

$h^2 = \left(\frac{a^2 - (b-c)^2}{2c}\right) \left(\frac{(b+c)^2 - a^2}{2c}\right)$

Еще раз применим формулу разности квадратов к числителям:$h^2 = \frac{(a-(b-c))(a+(b-c))((b+c)-a)((b+c)+a)}{4c^2}$

$h^2 = \frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}{4c^2}$

Теперь введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $2p = a+b+c$. Выразим множители в числителе через $p$:

$a+b+c = 2p$

$a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$

$a-b+c = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$

$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим эти выражения в формулу для $h^2$:$h^2 = \frac{2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p}{4c^2} = \frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4c^2}$

$h^2 = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:$h = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основание равно $c$, а высота — $h$.$S = \frac{1}{2}ch = \frac{1}{2}c \cdot \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

Сократив $c$ и $2$, получаем искомую формулу Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника, доказана с использованием теоремы Пифагора и алгебраических преобразований.