gdz.top
Номер 0.37, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-519-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 0. Вопросы и упражнения для повторения курса планиметрии. Упражнения для повторения курса планиметрии - номер 0.37, страница 13.
№0.36
№0.37 (с. 13)
Условие rus. №0.37 (с. 13)
0.37. Докажите, что если ABCD – прямоугольник, то для любой точки O плоскости выполняется равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$ (рис. 0.4).
Рис. 0.4
Условия kz. №0.37 (с. 13)
Решение. №0.37 (с. 13)
Решение 2 (rus). №0.37 (с. 13)
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а стороны $AD$ и $AB$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть длина стороны $AD$ равна $a$, а длина стороны $AB$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими: $A(0, 0)$, $B(0, b)$, $C(a, b)$ и $D(a, 0)$. Пусть $O(x, y)$ — произвольная точка на плоскости.
Теперь найдем квадраты расстояний от точки $O$ до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Вычислим обе части доказываемого равенства.
Для левой части равенства $AO^2 + CO^2$ имеем:
$AO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
$CO^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
Сумма равна: $AO^2 + CO^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.
Для правой части равенства $BO^2 + DO^2$ имеем:
$BO^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$DO^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
Сумма равна: $BO^2 + DO^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.
Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$ выполняется для любой точки $O$ на плоскости. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Для любого прямоугольника $ABCD$ и любой точки $O$ плоскости выполняется равенство $AO^2+CO^2 = BO^2+DO^2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 0.37 расположенного на странице 13 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №0.37 (с. 13), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.