Номер 0.33, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.33. В прямоугольном треугольнике один из углов равен среднему арифметическому двух других углов. Найдите катеты этого треугольника, если его гипотенуза равна $c$.

Пусть углы данного прямоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Поскольку треугольник прямоугольный, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть это будет угол $\gamma$, то есть $\gamma = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Подставив значение $\gamma$, получим $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что сумма двух острых углов $\alpha + \beta = 90^\circ$.

По условию задачи, один из углов равен среднему арифметическому двух других. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Прямой угол $\gamma$ является средним арифметическим двух острых углов $\alpha$ и $\beta$.
В этом случае: $\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}$.
Подставим известные значения: $90^\circ = \frac{\alpha + \beta}{2}$, откуда $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Это противоречит ранее полученному выводу, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Следовательно, этот вариант невозможен.

2. Один из острых углов (например, $\alpha$) является средним арифметическим прямого угла $\gamma$ и другого острого угла $\beta$.
В этом случае: $\alpha = \frac{\beta + \gamma}{2}$.
Мы знаем, что $\gamma = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$. Подставим эти выражения в формулу:
$\alpha = \frac{(90^\circ - \alpha) + 90^\circ}{2}$
$\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{2}$
$2\alpha = 180^\circ - \alpha$
$3\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 60^\circ$
Тогда второй острый угол $\beta$ будет равен: $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Теперь нам нужно найти катеты этого треугольника, зная, что его гипотенуза равна $c$. Обозначим катеты как $a$ и $b$. Катет $a$ пусть лежит напротив угла в $30^\circ$, а катет $b$ — напротив угла в $60^\circ$.

Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла.
Для катета $a$, противолежащего углу $30^\circ$:
$a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$
Для катета $b$, противолежащего углу $60^\circ$:
$b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Ответ: катеты этого треугольника равны $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.