Номер 0.40, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.40. Внутренняя точка $P$ треугольника $ABC$ удовлетворяет равенству $\angle ABP = \angle BCP = \angle CAP = \phi$. Выразите $\operatorname{tg}\phi$ через площадь треугольника и его стороны.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A, \angle B, \angle C$, а длины сторон, противолежащих этим углам, как $a, b, c$ соответственно. Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$.

По условию, внутренняя точка $P$ такова, что $\angle ABP = \angle BCP = \angle CAP = \phi$.

Изобразим данную конфигурацию на рисунке:

Рассмотрим углы в треугольниках $\triangle APB$, $\triangle BPC$ и $\triangle CPA$.

В $\triangle APB$:$\angle PAB = \angle CAB - \angle CAP = A - \phi$$\angle PBA = \angle ABP = \phi$$\angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA = 180^\circ - (A - \phi) - \phi = 180^\circ - A$.

В $\triangle BPC$:$\angle PBC = \angle ABC - \angle ABP = B - \phi$$\angle PCB = \angle BCP = \phi$$\angle BPC = 180^\circ - \angle PBC - \angle PCB = 180^\circ - (B - \phi) - \phi = 180^\circ - B$.

В $\triangle CPA$:$\angle PCA = \angle BCA - \angle BCP = C - \phi$$\angle PAC = \angle CAP = \phi$$\angle CPA = 180^\circ - \angle PCA - \angle PAC = 180^\circ - (C - \phi) - \phi = 180^\circ - C$.

Применим теорему синусов к треугольникам $\triangle APB$ и $\triangle BPC$.

Из $\triangle APB$:$\frac{PB}{\sin(\angle PAB)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)}$$\frac{PB}{\sin(A-\phi)} = \frac{c}{\sin(180^\circ - A)} = \frac{c}{\sin A}$Отсюда $PB = \frac{c \sin(A-\phi)}{\sin A}$.

Из $\triangle BPC$:$\frac{PB}{\sin(\angle PCB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BPC)}$$\frac{PB}{\sin(\phi)} = \frac{a}{\sin(180^\circ - B)} = \frac{a}{\sin B}$Отсюда $PB = \frac{a \sin\phi}{\sin B}$.

Приравнивая два выражения для $PB$, получаем:$\frac{c \sin(A-\phi)}{\sin A} = \frac{a \sin\phi}{\sin B}$$c \sin B \sin(A-\phi) = a \sin A \sin\phi$

Раскроем $\sin(A-\phi) = \sin A \cos\phi - \cos A \sin\phi$:$c \sin B (\sin A \cos\phi - \cos A \sin\phi) = a \sin A \sin\phi$

Предполагая, что $\phi \ne 0$, разделим обе части равенства на $\sin\phi$:$c \sin B (\sin A \cot\phi - \cos A) = a \sin A$$\sin A \cot\phi - \cos A = \frac{a \sin A}{c \sin B}$$\cot\phi = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{a \sin A}{c \sin B \sin A} = \cot A + \frac{a}{c \sin B}$

По теореме синусов для $\triangle ABC$, имеем $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$, откуда $a = c \frac{\sin A}{\sin C}$.Подставим это выражение для $a$:$\cot\phi = \cot A + \frac{c \frac{\sin A}{\sin C}}{c \sin B} = \cot A + \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$

Теперь рассмотрим сумму котангенсов углов $B$ и $C$:$\cot B + \cot C = \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\cos B \sin C + \sin B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C}$

Так как $A+B+C = 180^\circ$, то $B+C = 180^\circ - A$, и $\sin(B+C) = \sin(180^\circ - A) = \sin A$.Следовательно, $\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$.

Подставляя это в наше выражение для $\cot\phi$, получаем известное соотношение для угла Брокара:$\cot\phi = \cot A + (\cot B + \cot C)$$\cot\phi = \cot A + \cot B + \cot C$

Теперь выразим котангенсы углов треугольника через его стороны и площадь $S$.Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}bc\sin A$, откуда $\sin A = \frac{2S}{bc}$.По теореме косинусов, $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.Тогда $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}{2S/bc} = \frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$.

Аналогично для углов $B$ и $C$:$\cot B = \frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$$\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

Суммируя эти выражения, получаем:$\cot\phi = \frac{b^2+c^2-a^2}{4S} + \frac{a^2+c^2-b^2}{4S} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$$\cot\phi = \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{4S}$$\cot\phi = \frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Искомая величина $\mathrm{tg}\phi$ является обратной к $\cot\phi$:$\mathrm{tg}\phi = \frac{1}{\cot\phi} = \frac{4S}{a^2+b^2+c^2}$

Ответ: $\mathrm{tg}\phi = \frac{4S}{a^2+b^2+c^2}$, где $S$ — площадь треугольника $ABC$, а $a,b,c$ — длины его сторон.