Номер 0.36, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.36. Вершины треугольника находятся в точках $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$. Напишите уравнения серединных перпендикуляров этого треугольника.

Серединный перпендикуляр к стороне AB

Найдем уравнение серединного перпендикуляра к стороне AB, соединяющей точки A(-7; 5) и B(3; -1). Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.

1. Сначала найдем координаты середины отрезка AB, точки $M_{AB}$:
$x_{M_{AB}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y_{M_{AB}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Координаты точки $M_{AB}$ равны $(-2; 2)$.

2. Далее найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через точки A и B:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 5}{3 - (-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.

3. Серединный перпендикуляр перпендикулярен прямой AB, поэтому его угловой коэффициент $k_1$ находится из условия перпендикулярности $k_1 \cdot k_{AB} = -1$:
$k_1 = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.

4. Теперь составим уравнение серединного перпендикуляра, который проходит через точку $M_{AB}(-2; 2)$ и имеет угловой коэффициент $k_1 = 5/3$, используя уравнение прямой $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 2 = \frac{5}{3}(x - (-2))$
$3(y - 2) = 5(x + 2)$
$3y - 6 = 5x + 10$
$5x - 3y + 16 = 0$.
Ответ: $5x - 3y + 16 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне BC

Найдем уравнение серединного перпендикуляра к стороне BC, соединяющей точки B(3; -1) и C(5; 3).

1. Найдем координаты середины отрезка BC, точки $M_{BC}$:
$x_{M_{BC}} = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_{M_{BC}} = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты точки $M_{BC}$ равны $(4; 1)$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой BC:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Угловой коэффициент $k_2$ серединного перпендикуляра:
$k_2 = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{BC}(4; 1)$ с угловым коэффициентом $k_2 = -1/2$:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2(y - 1) = -(x - 4)$
$2y - 2 = -x + 4$
$x + 2y - 6 = 0$.
Ответ: $x + 2y - 6 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне AC

Найдем уравнение серединного перпендикуляра к стороне AC, соединяющей точки A(-7; 5) и C(5; 3).

1. Найдем координаты середины отрезка AC, точки $M_{AC}$:
$x_{M_{AC}} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_{M_{AC}} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Координаты точки $M_{AC}$ равны $(-1; 4)$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_{AC}$ прямой AC:
$k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{3 - 5}{5 - (-7)} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

3. Угловой коэффициент $k_3$ серединного перпендикуляра:
$k_3 = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.

4. Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M_{AC}(-1; 4)$ с угловым коэффициентом $k_3 = 6$:
$y - 4 = 6(x - (-1))$
$y - 4 = 6(x + 1)$
$y - 4 = 6x + 6$
$6x - y + 10 = 0$.
Ответ: $6x - y + 10 = 0$.