Номер 0.30, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.30. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Сформулируем утверждение в виде теоремы и докажем его.

Теорема: Если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к соответствующей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
$AB = A_1B_1$.
$AC = A_1C_1$.
$BM$ – медиана к стороне $AC$.
$B_1M_1$ – медиана к стороне $A_1C_1$.
$BM = B_1M_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Так как $BM$ – медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$.
2. Аналогично, так как $B_1M_1$ – медиана, проведенная к стороне $A_1C_1$, то $M_1$ – середина $A_1C_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.
3. В условии дано, что $AC = A_1C_1$. Отсюда следует, что и половины этих сторон равны: $AM = A_1M_1$.
4. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них:
• $AB = A_1B_1$ (по условию),
• $BM = B_1M_1$ (по условию),
• $AM = A_1M_1$ (доказано в п. 3).
5. Таким образом, $\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
6. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответственных углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$. Так как луч $AM$ совпадает с лучом $AC$, а луч $A_1M_1$ с $A_1C_1$, то $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.
7. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:
• $AB = A_1B_1$ (по условию),
• $AC = A_1C_1$ (по условию),
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п. 6).
8. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон, доказано. Доказательство основано на рассмотрении вспомогательного треугольника, образованного одной из данных сторон, медианой и половиной второй данной стороны. Равенство этих вспомогательных треугольников (по третьему признаку SSS) позволяет установить равенство углов между данными сторонами в исходных треугольниках, что, в свою очередь, доказывает их равенство по первому признаку (SAS).