Номер 0.23, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. В задаче 0.5 найдите площадь треугольника PQT, если $PQ = PT$.

Для решения данной задачи необходимо использовать данные из задачи 0.5. В качестве стандартного условия для задачи 0.5, на которую ссылается автор, примем следующую формулировку (из сборника задач под редакцией М.И. Сканави):

Задача 0.5: На оси ординат найти точку T, равноудаленную от точек P(-4, 2) и Q(6, 4).

Условие «если $PQ = PT$», приведенное в задаче 0.23, создает неоднозначность. Если трактовать его буквально, сохраняя при этом, что точка T лежит на оси ординат (из условия задачи 0.5), то получается два возможных положения для точки T и, как следствие, два различных значения площади. Формулировка вопроса в единственном числе («найдите площадь») делает такой сценарий маловероятным.

Наиболее вероятно, что условие «если $PQ = PT$» является опечаткой, и на самом деле имелось в виду условие из задачи 0.5, то есть $TP = TQ$. При такой интерпретации задача имеет единственное решение. Решим задачу, исходя из этого предположения.

1. Нахождение координат точки T.

Точка T лежит на оси ординат, следовательно, её абсцисса равна нулю, и её координаты можно записать как $T(0, y)$. По условию задачи 0.5, точка T равноудалена от точек P(-4, 2) и Q(6, 4), то есть расстояние $TP$ равно расстоянию $TQ$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов расстояний: $TP^2 = TQ^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Вычислим $TP^2$ для точек P(-4, 2) и T(0, y):

$TP^2 = (0 - (-4))^2 + (y - 2)^2 = 4^2 + (y - 2)^2 = 16 + y^2 - 4y + 4 = y^2 - 4y + 20$.

Вычислим $TQ^2$ для точек Q(6, 4) и T(0, y):

$TQ^2 = (0 - 6)^2 + (y - 4)^2 = (-6)^2 + (y - 4)^2 = 36 + y^2 - 8y + 16 = y^2 - 8y + 52$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$y^2 - 4y + 20 = y^2 - 8y + 52$

Сократим $y^2$ в обеих частях уравнения:

$-4y + 20 = -8y + 52$

Перенесем члены с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$8y - 4y = 52 - 20$

$4y = 32$

$y = 8$

Таким образом, координаты точки T — (0, 8).

2. Вычисление площади треугольника PQT.

Мы имеем координаты всех трех вершин треугольника: P(-4, 2), Q(6, 4), T(0, 8).

Площадь треугольника, заданного координатами его вершин $(x_P, y_P)$, $(x_Q, y_Q)$ и $(x_T, y_T)$, можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} |(x_P(y_Q - y_T) + x_Q(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_Q))|$

Подставим координаты вершин в формулу:

$S = \frac{1}{2} |(-4(4 - 8) + 6(8 - 2) + 0(2 - 4))|$

$S = \frac{1}{2} |(-4(-4) + 6(6) + 0)|$

$S = \frac{1}{2} |16 + 36|$

$S = \frac{1}{2} |52|$

$S = 26$

Ответ: 26.