Номер 0.17, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Прямые касаются окружности в концах хорды, равной радиусу. Найдите получившиеся углы.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, и по условию её длина равна радиусу, то есть $AB = R$. В точках $A$ и $B$ к окружности проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. Требуется найти углы, образованные этими касательными и хордой.

1. Рассмотрим треугольник $OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. По условию задачи, длина хорды $AB$ также равна радиусу, $AB = R$. Таким образом, треугольник $OAB$ является равносторонним, и все его углы равны $60°$. В частности, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60°$.

2. Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Это означает, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми, то есть $\angle OAC = 90°$ и $\angle OBC = 90°$. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $OACB$ имеем:$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360°$.Подставим известные значения углов:$60° + 90° + 90° + \angle ACB = 360°$.$240° + \angle ACB = 360°$.Отсюда находим угол между касательными:$\angle ACB = 360° - 240° = 120°$.

3. Наконец, рассмотрим треугольник $ACB$, образованный касательными и хордой. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Значит, $AC = BC$. Следовательно, треугольник $ACB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle CAB = \angle CBA$.Сумма углов в треугольнике $ACB$ равна $180°$:$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180°$.$2 \cdot \angle CAB + 120° = 180°$.$2 \cdot \angle CAB = 180° - 120° = 60°$.$\angle CAB = 30°$.Следовательно, $\angle CBA = 30°$.

Таким образом, в результате построения получились следующие углы: угол между касательными равен $120°$, а углы между касательными и хордой равны по $30°$.

Ответ: Угол между касательными равен $120°$, а углы, которые каждая касательная образует с хордой, равны по $30°$.