Номер 0.15, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. $\alpha$ и $\beta$ – два угла треугольника. Под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

Пусть дан треугольник с вершинами A, B, C. Углы при вершинах A и B равны соответственно $\alpha$ и $\beta$. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольник AOB, образованный двумя вершинами исходного треугольника (A и B) и точкой пересечения биссектрис (O). Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника AOB это записывается как: $ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ $

Поскольку AO и BO являются биссектрисами углов $\alpha$ и $\beta$ соответственно, они делят эти углы пополам: $ \angle OAB = \frac{\alpha}{2} $ $ \angle OBA = \frac{\beta}{2} $

Подставим эти значения в формулу суммы углов для треугольника AOB: $ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AOB = 180^\circ $

Из этого уравнения мы можем выразить угол $\angle AOB$, который является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис: $ \angle AOB = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $

При пересечении двух прямых (в данном случае биссектрис) образуются две пары смежных и вертикальных углов. Один из углов мы нашли, он равен $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Другой угол, смежный с ним, будет равен: $ 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - \left(180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\alpha + \beta}{2} $

По свойству углов треугольника, сумма любых двух его углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Отсюда следует, что $\frac{\alpha + \beta}{2} < 90^\circ$. Это означает, что угол величиной $\frac{\alpha + \beta}{2}$ всегда является острым. Соответственно, смежный с ним угол $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ всегда будет тупым.

Обычно под углом между пересекающимися линиями понимают величину острого угла. Однако, поскольку в условии задачи это не уточняется, корректно будет указать обе возможные величины.

Ответ: Биссектрисы двух углов треугольника $\alpha$ и $\beta$ пересекаются под углами $\frac{\alpha + \beta}{2}$ (острый) и $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ (тупой).