Номер 0.10, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 2\sqrt{2}$ см, $CD$ — медиана. Вычислите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CD} \cdot \vec{AB}$

2) $\vec{CD} \cdot \vec{CB}$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (рис. 0.2).

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известны гипотенуза $AB = 2\sqrt{2}$ см, угол $\angle A = 30°$, и то, что $CD$ — медиана, проведенная к гипотенузе.

Прежде чем вычислять скалярные произведения, найдем длины катетов и медианы, а также углы треугольника.

1. Углы треугольника:
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\angle C = 90°$, $\angle A = 30°$.
Следовательно, $\angle B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

2. Длины катетов:
Катет $BC$ лежит против угла в $30°$, поэтому он равен половине гипотенузы:
$BC = AB \cdot \sin(30°) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$ см.
Катет $AC$ найдем по теореме Пифагора или через косинус угла $A$:
$AC = AB \cdot \cos(30°) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$ см.

3. Длина медианы:
Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.
$CD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ см.
Также, $D$ — середина $AB$, поэтому $AD = DB = \frac{1}{2} AB = \sqrt{2}$ см.

Теперь перейдем к вычислению скалярных произведений.

1) $\vec{CD} \cdot \vec{AB}$
Для нахождения этого скалярного произведения воспользуемся векторной алгеброй. Вектор медианы $\vec{CD}$ можно выразить через векторы сторон, выходящих из той же вершины $C$: $\vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$. Вектор стороны $\vec{AB}$ можно выразить как разность векторов: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})$
Это произведение является разностью квадратов векторов:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}((\vec{CB})^2 - (\vec{CA})^2) = \frac{1}{2}(|\vec{CB}|^2 - |\vec{CA}|^2)$
Подставим длины катетов $BC = \sqrt{2}$ и $AC = \sqrt{6}$:
$\vec{CD} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2}((\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2) = \frac{1}{2}(2 - 6) = \frac{1}{2}(-4) = -2$.
Ответ: -2

2) $\vec{CD} \cdot \vec{CB}$
Для вычисления этого произведения рассмотрим треугольник $CDB$. Мы знаем длины его сторон:
$CD = \sqrt{2}$ см (длина медианы).
$CB = \sqrt{2}$ см (длина катета).
$DB = \sqrt{2}$ см (половина гипотенузы).
Поскольку все стороны треугольника $CDB$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60°$.
Таким образом, угол между векторами $\vec{CD}$ и $\vec{CB}$ равен $\angle DCB = 60°$.
Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними:
$\vec{CD} \cdot \vec{CB} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle DCB)$
Подставим известные значения:
$\vec{CD} \cdot \vec{CB} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(60°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1

3) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по определению равно $|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между ними. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $\angle A = 30°$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения длин сторон и угла:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}) \cdot \cos(30°) = 2\sqrt{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
Альтернативный способ: разложим вектор $\vec{AB}$ на сумму векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$: $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (\vec{AC} + \vec{CB}) \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{CB} \cdot \vec{AC}$.
Поскольку угол $C$ прямой, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ ортогональны (перпендикулярны), и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CB} \cdot \vec{AC} = 0$.
Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.
Ответ: 6