Номер 0.6, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.6. В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ – катеты, $c$ – гипотенуза, а $\alpha$ – угол, противолежащий катету $a$. Найдите неизвестные элементы треугольника, если:

1) $a = 4$м, $b = 3$м;

2) $a = 12$ см, $c = 13$ см;

3) $\alpha = 30^\circ$, $c = 12$ см;

4) $\alpha = 60^\circ$, $b = 7$ дм.

1) Дано: катеты $a = 4$ м и $b = 3$ м. Необходимо найти гипотенузу $c$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$ (угол, противолежащий катету $b$).
Решение:
1. По теореме Пифагора находим гипотенузу $c$:$
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ м.
2. Находим угол $\alpha$, противолежащий катету $a$. Синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$\alpha = \arcsin(0.8) \approx 53,13^\circ$.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому угол $\beta$ равен:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53,13^\circ = 36,87^\circ$.
Ответ: $c = 5$ м, $\alpha \approx 53,13^\circ$, $\beta \approx 36,87^\circ$.

2) Дано: катет $a = 12$ см и гипотенуза $c = 13$ см. Необходимо найти катет $b$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
1. По теореме Пифагора находим катет $b$:$
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, противолежащий катету $a$. Синус этого угла равен:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{12}{13}$.
$\alpha = \arcsin(\frac{12}{13}) \approx 67,38^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 67,38^\circ = 22,62^\circ$.
Ответ: $b = 5$ см, $\alpha \approx 67,38^\circ$, $\beta \approx 22,62^\circ$.

3) Дано: угол $\alpha = 30^\circ$ и гипотенуза $c = 12$ см. Необходимо найти катеты $a$ и $b$ и угол $\beta$.
Решение:
1. Находим угол $\beta$:$
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Находим катет $a$, противолежащий углу $\alpha$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$a = c \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
3. Находим катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$:$
$b = c \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
Ответ: $a = 6$ см, $b = 6\sqrt{3}$ см, $\beta = 60^\circ$.

4) Дано: угол $\alpha = 60^\circ$ и катет $b = 7$ дм. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
Решение:
1. Находим угол $\beta$:$
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Находим катет $a$ через тангенс угла $\alpha$:$
$a = b \cdot \tan(\alpha) = 7 \cdot \tan(60^\circ) = 7\sqrt{3}$ дм.
3. Находим гипотенузу $c$ через косинус угла $\alpha$:$
$c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{7}{\cos(60^\circ)} = \frac{7}{1/2} = 14$ дм.
Ответ: $a = 7\sqrt{3}$ дм, $c = 14$ дм, $\beta = 30^\circ$.