Номер 26, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Каким свойством обладает биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. Она обладает несколькими ключевыми свойствами.

Теорема о биссектрисе

Это основное свойство, которое связывает биссектрису с длинами сторон треугольника. Теорема гласит: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $CL$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$, справедливо следующее соотношение. Пусть стороны $AC=b$ и $BC=a$, а отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равны $AL=m$ и $LB=n$.

Тогда соотношение имеет вид:

$$ \frac{m}{n} = \frac{b}{a} $$

Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в треугольник. Это означает, что инцентр равноудален от всех трех сторон треугольника, и это расстояние равно радиусу вписанной окружности.

На рисунке точка $O$ является инцентром — точкой пересечения биссектрис и центром вписанной окружности.

Формула длины биссектрисы

Длину биссектрисы можно вычислить по формуле, зная длины сторон треугольника и отрезков, на которые она делит противоположную сторону. Для биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$ к стороне $c$, прилежащих сторон $a$ и $b$, и отрезков $m$ и $n$ (на которые делится сторона $c$), формула выглядит так:

$$ l_c^2 = ab - mn $$

Эта формула позволяет найти длину биссектрисы, если известны все три стороны треугольника (так как отрезки $m$ и $n$ можно найти через теорему о биссектрисе).

Ответ: Биссектриса треугольника обладает следующими основными свойствами: 1) она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (теорема о биссектрисе); 2) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — инцентре, который является центром вписанной в треугольник окружности; 3) ее длина может быть вычислена по формуле, связывающей ее со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону.