Номер 19, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте теоремы косинусов и синусов.

Что означают слова «решение треугольника»?

Под «решением треугольника» понимают процесс нахождения всех его неизвестных элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-либо трём из этих элементов, которые заданы изначально. Важным условием является то, что среди заданных элементов должна быть хотя бы одна сторона, так как три угла определяют лишь форму треугольника, но не его размеры.

Таким образом, решение треугольника — это вычисление трёх неизвестных из шести его основных характеристик (длины сторон $a, b, c$ и величины углов $\alpha, \beta, \gamma$). Для этого используются тригонометрические теоремы, в первую очередь теоремы синусов и косинусов, а также свойство суммы углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$).

Ответ: Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по трём известным элементам, где как минимум один из них является стороной.

Сформулируйте теоремы косинусов и синусов.

Для формулировки теорем рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Математически это выражается следующими формулами:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение любой стороны к синусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника и равно диаметру ($2R$) описанной около него окружности.
Математически это выражается так:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$
где $R$ — радиус описанной окружности треугольника.

Ответ:
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними (например, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$).
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной окружности ($\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$).