Номер 12, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Укажите связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника. Напишите значения тригонометрических функций угла, равного $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.

Связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике устанавливают связь между величиной этого угла и отношением длин сторон треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Стороны, лежащие напротив вершин A, B и C, обозначим как a, b и c соответственно. В этом треугольнике a и b являются катетами, а c — гипотенузой.

Пусть α — это острый угол при вершине A. Тогда по отношению к углу α:

• катет a — противолежащий (находится напротив угла α);
• катет b — прилежащий (является одной из сторон, образующих угол α);
• сторона c — гипотенуза (самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла).

Основные тригонометрические функции определяются следующими отношениями:

Синус (sin) острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $sin(α) = \frac{a}{c}$

Косинус (cos) острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $cos(α) = \frac{b}{c}$

Тангенс (tan) острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $tan(α) = \frac{a}{b}$

Котангенс (cot) острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету: $cot(α) = \frac{b}{a}$

Ответ: Связь тригонометрических функций острого угла α в прямоугольном треугольнике с его сторонами (где a – противолежащий катет, b – прилежащий катет, c – гипотенуза) выражается формулами: $sin(α) = \frac{a}{c}$, $cos(α) = \frac{b}{c}$, $tan(α) = \frac{a}{b}$, $cot(α) = \frac{b}{a}$.

Значения тригонометрических функций угла, равного 30°, 45°, 60°

Ниже приведены стандартные значения тригонометрических функций для указанных углов.

Для угла 30°:

$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cot(30^\circ) = \sqrt{3}$

Для угла 45°:

$sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(45^\circ) = 1$

$cot(45^\circ) = 1$

Для угла 60°:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

$cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:
Значения для 30°: $sin = \frac{1}{2}$, $cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $cot = \sqrt{3}$.
Значения для 45°: $sin = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $tan = 1$, $cot = 1$.
Значения для 60°: $sin = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos = \frac{1}{2}$, $tan = \sqrt{3}$, $cot = \frac{\sqrt{3}}{3}$.