Номер 14, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Что такое скалярная величина, векторная величина? Какие векторы называются коллинеарными? Какая связь между вектором и преобразованием параллельного переноса?

Что такое скалярная величина, векторная величина? Скалярная величина (или скаляр) – это физическая или математическая величина, которая полностью определяется своим числовым значением в выбранной системе единиц и не имеет направления. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура, время, работа, энергия. Векторная величина (или вектор) – это величина, которая для своего полного определения требует задания не только числового значения (называемого модулем или длиной), но и направления в пространстве. Векторные величины графически представляются в виде направленных отрезков. Примерами векторных величин служат перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс.
Ответ: Скалярная величина характеризуется только числовым значением, в то время как векторная величина характеризуется как числовым значением (модулем), так и направлением.

Какие векторы называются коллинеарными? Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают) считается коллинеарным любому вектору.
Алгебраический критерий коллинеарности: два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.
При этом:
- Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону). Это обозначается как $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$.
- Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (направлены в противоположные стороны). Это обозначается как $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.
- Если $k = 0$, то $\vec{a}$ является нулевым вектором.

Ответ: Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; это означает, что один вектор может быть получен из другого умножением на скаляр.

Какая связь между вектором и преобразованием параллельного переноса? Связь между вектором и параллельным переносом прямая и фундаментальная: каждый параллельный перенос в пространстве или на плоскости однозначно задается вектором. Этот вектор называется вектором переноса.
Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры (или всего пространства) сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор переноса как раз и определяет это общее для всех точек направление и расстояние сдвига.
Если точка $M$ с координатами $(x, y)$ переносится в точку $M'$ с координатами $(x', y')$, и вектор переноса равен $\vec{v} = (a, b)$, то преобразование описывается следующими формулами:
$x' = x + a$
$y' = y + b$
Это можно записать в векторной форме: если $\vec{r}$ — радиус-вектор точки $M$ (вектор $\vec{OM}$), а $\vec{r'}$ — радиус-вектор точки $M'$ (вектор $\vec{OM'}$), то $\vec{r'} = \vec{r} + \vec{v}$. Таким образом, чтобы найти образ любой точки при параллельном переносе, нужно к ее радиус-вектору прибавить вектор переноса.
Ответ: Любой параллельный перенос задается вектором, который определяет направление и расстояние смещения всех точек. И наоборот, любой вектор может задавать преобразование параллельного переноса.