Номер 8, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Какая фигура называется прямоугольником, ромбом, квадратом? Какие их свойства вы знаете? Постройте от руки эти фигуры и проверьте правильность рисунка с применением свойств каждой из фигур.

Прямоугольник

Определение: Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые (то есть равны $90^\circ$). Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Свойства:
1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. Если обозначить вершины как A, B, C, D, то $AB = CD$, $BC = AD$ и $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$.
2. Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
3. Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.
4. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$.

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок прямоугольника ABCD с диагоналями AC и BD.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки прямоугольника, нужно:
1. С помощью угольника или транспортира убедиться, что все четыре угла фигуры прямые.
2. С помощью линейки измерить длины диагоналей. Они должны быть равны друг другу.
Если эти два условия выполнены, фигура является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник со всеми прямыми углами. Его ключевые свойства — это равенство противоположных сторон, прямые углы и равные диагонали. Проверить правильность рисунка можно, убедившись с помощью инструментов, что все углы равны $90^\circ$ и что диагонали равны по длине.

Ромб

Определение: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:
1. Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
3. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$, $BC \parallel DA$.
4. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам.
5. Диагонали являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок ромба ABCD. Значок прямого угла показывает, что диагонали перпендикулярны.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки ромба, нужно:
1. С помощью линейки измерить длины всех четырех сторон. Они должны быть равны.
2. Начертить диагонали и с помощью угольника или транспортира проверить угол между ними. Он должен быть прямым ($90^\circ$).
Если эти два условия выполнены, фигура является ромбом.

Ответ: Ромб — это параллелограмм со всеми равными сторонами. Его ключевые свойства — равенство всех сторон и перпендикулярность диагоналей. Проверить правильность рисунка можно, убедившись, что все стороны равны и диагонали пересекаются под прямым углом.

Квадрат

Определение: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

Свойства:
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:
1. Все стороны равны.
2. Все углы прямые ($90^\circ$).
3. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам.
4. Диагонали являются биссектрисами углов квадрата, деля их на углы по $45^\circ$.

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок квадрата ABCD.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки квадрата, достаточно проверить, что он одновременно является ромбом и прямоугольником. Для этого нужно:
1. С помощью линейки убедиться, что все четыре стороны равны.
2. С помощью угольника убедиться, что хотя бы один угол прямой. (Если у ромба один угол прямой, то и все остальные углы будут прямыми).
Либо можно провести полную проверку: измерить все стороны (должны быть равны) и все углы (должны быть по $90^\circ$).

Ответ: Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Он сочетает свойства прямоугольника и ромба. Проверить рисунок можно, убедившись, что все стороны равны по длине и что все углы прямые.