Страница 4 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы называются смежными, а какие – вертикальными? Выполните чертеж. Какими свойствами они обладают?

Смежные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, то есть лежат на одной прямой и образуют развернутый угол.

На чертеже луч $OC$ делит развернутый угол $AOB$ на два угла: $\angle AOC$ (отмечен синим) и $\angle BOC$ (отмечен красным). Эти углы являются смежными. У них общая вершина $O$ и общая сторона $OC$, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой.

Свойство смежных углов

Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

Ответ: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, называются смежными. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Вертикальные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых.

На чертеже при пересечении прямых $AB$ и $CD$ в точке $O$ образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOD$ и $\angle BOC$ (отмечены синим), а также $\angle AOC$ и $\angle BOD$ (отмечены красным).

Свойство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой.

$\angle AOD = \angle BOC$
$\angle AOC = \angle BOD$

Ответ: Два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны.

2. На рисунке, построенном вами, назовите углы, образованные при пересечении двух прямых третьей.

Для ответа на вопрос построим рисунок: две произвольные прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) c. Точки пересечения образуют восемь углов, которые мы пронумеруем от 1 до 8 для удобства идентификации.

На основе этого рисунка можно выделить следующие группы углов:

Внутренние накрест лежащие углы — это пары углов, которые лежат между прямыми a и b, но по разные стороны от секущей c. Эти углы попарно равны, если прямые a и b параллельны. На рисунке это две пары.
Ответ: ($\angle 3$ и $\angle 5$), ($\angle 4$ и $\angle 6$).

Внешние накрест лежащие углы — это пары углов, которые лежат вне прямых a и b и по разные стороны от секущей c. Они также попарно равны при параллельных прямых a и b. На рисунке это две пары.
Ответ: ($\angle 1$ и $\angle 7$), ($\angle 2$ и $\angle 8$).

Соответственные углы — это пары углов, которые занимают одинаковое положение относительно прямых a, b и секущей c. Например, оба угла находятся сверху от своих прямых и слева от секущей. Эти углы всегда равны, если прямые a и b параллельны. На рисунке таких пар четыре.
Ответ: ($\angle 1$ и $\angle 5$), ($\angle 2$ и $\angle 6$), ($\angle 3$ и $\angle 7$), ($\angle 4$ и $\angle 8$).

Внутренние односторонние углы — это пары углов, которые лежат между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. Их сумма равна $180^\circ$, если прямые a и b параллельны. На рисунке это две пары.
Ответ: ($\angle 4$ и $\angle 5$), ($\angle 3$ и $\angle 6$).

Внешние односторонние углы — это пары углов, которые лежат вне прямых a и b и по одну сторону от секущей c. Их сумма также равна $180^\circ$ при параллельных прямых a и b. На рисунке это две пары.
Ответ: ($\angle 1$ и $\angle 8$), ($\angle 2$ и $\angle 7$).

Кроме того, в каждой точке пересечения образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Они всегда равны между собой. На рисунке таких пар четыре.
Ответ: ($\angle 1$ и $\angle 3$), ($\angle 2$ и $\angle 4$), ($\angle 5$ и $\angle 7$), ($\angle 6$ и $\angle 8$).

Смежные углы — это пары углов с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Их сумма всегда равна $180^\circ$. На рисунке таких пар восемь.
Ответ: ($\angle 1$ и $\angle 2$), ($\angle 2$ и $\angle 3$), ($\angle 3$ и $\angle 4$), ($\angle 4$ и $\angle 1$); ($\angle 5$ и $\angle 6$), ($\angle 6$ и $\angle 7$), ($\angle 7$ и $\angle 8$), ($\angle 8$ и $\angle 5$).

3. Какие две прямые называются параллельными, а какие – перпендикулярными? От руки постройте перпендикулярные прямые и проверьте транспортиром их перпендикулярность.

Какие две прямые называются параллельными

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Это означает, что расстояние между ними в любой точке остается постоянным. Параллельность прямых a и b обозначается специальным символом: $a \parallel b$.

Ответ: Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Какие две прямые называются перпендикулярными

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла составляет $90^\circ$. Если прямые c и d перпендикулярны, это записывается как $c \perp d$.

Ответ: Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под углом $90^\circ$.

От руки постройте перпендикулярные прямые и проверьте транспортиром их перпендикулярность

1. Построение от руки:
Сначала нарисуйте на бумаге одну прямую линию, назовем ее m. Затем проведите вторую прямую, n, так, чтобы она пересекала прямую m. Старайтесь сделать угол пересечения как можно более похожим на прямой.

2. Проверка с помощью транспортира:
Для проверки перпендикулярности необходимо использовать транспортир.
а) Расположите транспортир так, чтобы его центр (специальная отметка или отверстие) совпал с точкой пересечения прямых m и n.
б) Совместите нулевую линию (основание) транспортира с одной из прямых, например, с прямой m.
в) Посмотрите на шкалу транспортира. Если вторая прямая (n) проходит через отметку $90^\circ$, значит, прямые перпендикулярны. Если есть небольшое отклонение, это связано с погрешностью построения "от руки".

Ответ: Чтобы построить и проверить перпендикулярные прямые, сначала их рисуют пересекающимися под углом, похожим на прямой, а затем проверяют точность угла с помощью транспортира, совмещая его центр с точкой пересечения и основание с одной из прямых.

4. Сформулируйте признаки параллельности прямых. Постройте на глаз параллельные прямые (наклонно к линиям тетради) и проверьте их параллельность, применяя все три признака параллельности.

При пересечении двух прямых a и b третьей прямой c, называемой секущей, образуется восемь углов. Эти углы имеют специальные названия и свойства, которые лежат в основе признаков параллельности прямых.

Признаки параллельности прямых:

1. Первый признак (по накрест лежащим углам). Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. На рисунке выше накрест лежащими являются пары углов $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $, а также $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $. Таким образом, если $ \angle 4 = \angle 5 $ или $ \angle 3 = \angle 6 $, то $ a \parallel b $.

2. Второй признак (по соответственным углам). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Соответственными являются пары: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $, $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $, $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $, $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $. Если любая из этих пар углов равна, например $ \angle 1 = \angle 5 $, то $ a \parallel b $.

3. Третий признак (по односторонним углам). Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны. Односторонними являются пары: $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $, а также $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $. Если $ \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ $ или $ \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ $, то $ a \parallel b $.

Построение и проверка параллельности

Сначала построим на глаз две прямые a и b, которые выглядят параллельными, и проведем секущую c, пересекающую их. Пронумеруем некоторые из образовавшихся углов для проверки.

Теперь проверим параллельность прямых a и b, используя последовательно все три признака.

Проверка по накрест лежащим углам

Для проверки по первому признаку выберем пару накрест лежащих углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. С помощью транспортира измерим их величину. Допустим, измерения показали, что $ \angle 1 \approx 75^\circ $ и $ \angle 2 \approx 75^\circ $. Поскольку накрест лежащие углы равны ($ \angle 1 = \angle 2 $), можно сделать вывод, что прямые a и b параллельны.

Ответ: Так как измеренные накрест лежащие углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ оказались равны, прямые a и b параллельны по первому признаку.

Проверка по соответственным углам

Для проверки по второму признаку выберем пару соответственных углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $. Измерим угол $ \angle 3 $ транспортиром. Измерения должны показать, что $ \angle 3 \approx 75^\circ $. Так как мы уже измерили $ \angle 1 \approx 75^\circ $, получаем, что соответственные углы равны ($ \angle 1 = \angle 3 $). Это подтверждает параллельность прямых.

Ответ: Так как измеренные соответственные углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ оказались равны, прямые a и b параллельны по второму признаку.

Проверка по односторонним углам

Для проверки по третьему признаку выберем пару односторонних углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 4 $. Мы уже знаем, что $ \angle 1 \approx 75^\circ $. Теперь измерим транспортиром угол $ \angle 4 $. Измерения должны показать, что $ \angle 4 \approx 105^\circ $. Найдем сумму этих углов: $ \angle 1 + \angle 4 \approx 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ $. Так как сумма односторонних углов равна $180^\circ$, прямые параллельны.

Ответ: Так как сумма измеренных односторонних углов $ \angle 1 $ и $ \angle 4 $ оказалась равна $180^\circ$, прямые a и b параллельны по третьему признаку.

5. Какая фигура называется треугольником? Какие виды треугольников вы знаете? На рисунке, построенном вами, назовите все элементы каждого названного вами треугольника.

Какая фигура называется треугольником?
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.
Ответ:

Какие виды треугольников вы знаете?
Треугольники классифицируют по двум основным признакам: по величине углов и по соотношению длин сторон.
Классификация по величине углов:
- Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$).
- Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$).
- Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).
Классификация по длинам сторон:
- Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину.
- Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны по длине.
- Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.
Ответ:

На рисунке, построенном вами, назовите все элементы каждого названного вами треугольника.
1. Общий (разносторонний) треугольник

Элементы треугольника $ABC$:
- Вершины: точки A, B, C.
- Стороны: отрезки AB (или c), BC (или a), AC (или b).
- Углы: $\angle CAB$ (или $\angle A$, $\alpha$), $\angle ABC$ (или $\angle B$, $\beta$), $\angle BCA$ (или $\angle C$, $\gamma$).

2. Прямоугольный треугольник

Элементы прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$):
- Вершины: A, B, C.
- Катеты: стороны AC (b) и BC (a), прилежащие к прямому углу.
- Гипотенуза: сторона AB (c), лежащая напротив прямого угла.
- Углы: прямой угол $\angle C = 90^\circ$ и два острых угла $\angle A$ и $\angle B$.

3. Равнобедренный треугольник

Элементы равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ ($AC=BC$):
- Вершины: A, B, C.
- Боковые стороны: равные стороны AC и BC.
- Основание: третья сторона AB.
- Углы при основании: равные углы $\angle A$ и $\angle B$.
- Угол при вершине: угол $\angle C$, противолежащий основанию.

4. Равносторонний (правильный) треугольник

Элементы равностороннего треугольника $ABC$ ($AB=BC=AC$):
- Вершины: A, B, C.
- Стороны: три равные стороны AB, BC, AC.
- Углы: три равных угла $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
Ответ:

6. Сформулируйте признаки равенства треугольников. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Сформулируйте признаки равенства треугольников.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Для установления равенства треугольников не обязательно проверять равенство всех шести элементов (трех сторон и трех углов). Достаточно воспользоваться одним из трех признаков равенства.

1. Первый признак (по двум сторонам и углу между ними, СУС): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

3. Третий признак (по трем сторонам, ССС): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признаки равенства треугольников: 1) по двум сторонам и углу между ними (СУС); 2) по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ); 3) по трем сторонам (ССС).

Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков, так как в любом прямоугольном треугольнике один угол известен — он прямой и равен $90^\circ$.

1. По двум катетам: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай признака СУС).

2. По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай признака УСУ).

3. По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Примечание: Существует также признак равенства по катету и противолежащему острому углу. Он также следует из общих признаков, так как зная один острый угол, можно найти и второй (их сумма равна $90^\circ$).

Ответ: Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по гипотенузе и острому углу; 4) по гипотенузе и катету.

7. Какой четырехугольник называется параллелограммом? Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке, построенном вами. Постройте от руки параллелограмм и проверьте выполнение признаков параллелограмма.

Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны.
Это означает, что если в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD лежат на параллельных прямых, а также стороны BC и AD лежат на параллельных прямых, то такой четырехугольник является параллелограммом. Математически это записывается так: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Ответ: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке, построенном вами.

Признаки параллелограмма — это теоремы, позволяющие определить, является ли данный четырехугольник параллелограммом, не используя напрямую его определение. Рассмотрим параллелограмм ABCD, изображенный на рисунке.

Существует три основных признака параллелограмма:

1. Признак по двум сторонам. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы знаем, что сторона $BC$ равна по длине стороне $AD$ ($BC = AD$) и при этом они параллельны ($BC \parallel AD$), то мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Признак по всем сторонам. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы измерили стороны и обнаружили, что длина $AB$ равна длине $CD$ ($AB = CD$), а также длина $BC$ равна длине $AD$ ($BC = AD$), то четырехугольник ABCD — это параллелограмм.

3. Признак по диагоналям. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы проведем диагонали $AC$ и $BD$, и они пересекутся в точке $O$ так, что отрезок $AO$ равен отрезку $OC$ ($AO = OC$) и отрезок $BO$ равен отрезку $OD$ ($BO = OD$), то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Признаки параллелограмма: 1) Если две стороны четырехугольника равны и параллельны, он является параллелограммом. 2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, он является параллелограммом. 3) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, он является параллелограммом.

Постройте от руки параллелограмм и проверьте выполнение признаков параллелограмма.

1. Построение.
Чтобы построить параллелограмм от руки, можно выполнить следующие шаги:
а) Начертить на листе бумаги произвольный отрезок $AB$.
б) От точки $A$ под произвольным острым или тупым углом начертить еще один отрезок $AD$.
в) Теперь нужно построить стороны, параллельные уже существующим. Из точки $B$ проводим прямую, параллельную $AD$. Из точки $D$ проводим прямую, параллельную $AB$. Для этого можно использовать линейку и угольник.
г) Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $C$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом по определению.

2. Проверка признаков.
Возьмем линейку и измерим элементы построенного нами четырехугольника $ABCD$. Допустим, мы получили следующие измерения (значения могут быть другими для вашего чертежа): $AB = 6$ см, $AD = 4$ см.

Проверка признака попарного равенства сторон:
Измеряем сторону $CD$. Она должна быть равна стороне $AB$ (около 6 см). Измеряем сторону $BC$. Она должна быть равна стороне $AD$ (около 4 см). Если $AB \approx CD$ и $BC \approx AD$, то признак выполняется.

Проверка признака равенства и параллельности двух сторон:
Мы уже измерили, что $BC \approx AD$. Теперь нужно проверить их параллельность. Это можно сделать с помощью двух угольников или транспортира, проверив равенство соответственных или накрест лежащих углов при секущей (например, при секущей $BD$ углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ должны быть равны). Если $BC \approx AD$ и $BC \parallel AD$, то признак выполняется.

Проверка признака по диагоналям:
Проводим диагонали $AC$ и $BD$ и отмечаем их точку пересечения $O$. Измеряем линейкой получившиеся отрезки. Например, если диагональ $AC = 8.5$ см, то отрезки $AO$ и $OC$ должны быть равны примерно по $4.25$ см. Если диагональ $BD = 7$ см, то отрезки $BO$ и $OD$ должны быть равны примерно по $3.5$ см. Если $AO \approx OC$ и $BO \approx OD$, то признак выполняется.
Таким образом, на построенном от руки чертеже можно эмпирически (с помощью измерений) убедиться в выполнении всех признаков параллелограмма.

Ответ: Параллелограмм строится путем проведения двух пар параллельных прямых. Проверка признаков осуществляется с помощью линейки и транспортира/угольника путем измерения длин сторон и отрезков диагоналей, а также проверки параллельности сторон.

8. Какая фигура называется прямоугольником, ромбом, квадратом? Какие их свойства вы знаете? Постройте от руки эти фигуры и проверьте правильность рисунка с применением свойств каждой из фигур.

Прямоугольник

Определение: Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые (то есть равны $90^\circ$). Прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

Свойства:
1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны. Если обозначить вершины как A, B, C, D, то $AB = CD$, $BC = AD$ и $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$.
2. Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
3. Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.
4. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$.

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок прямоугольника ABCD с диагоналями AC и BD.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки прямоугольника, нужно:
1. С помощью угольника или транспортира убедиться, что все четыре угла фигуры прямые.
2. С помощью линейки измерить длины диагоналей. Они должны быть равны друг другу.
Если эти два условия выполнены, фигура является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник со всеми прямыми углами. Его ключевые свойства — это равенство противоположных сторон, прямые углы и равные диагонали. Проверить правильность рисунка можно, убедившись с помощью инструментов, что все углы равны $90^\circ$ и что диагонали равны по длине.

Ромб

Определение: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:
1. Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
3. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$, $BC \parallel DA$.
4. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам.
5. Диагонали являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок ромба ABCD. Значок прямого угла показывает, что диагонали перпендикулярны.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки ромба, нужно:
1. С помощью линейки измерить длины всех четырех сторон. Они должны быть равны.
2. Начертить диагонали и с помощью угольника или транспортира проверить угол между ними. Он должен быть прямым ($90^\circ$).
Если эти два условия выполнены, фигура является ромбом.

Ответ: Ромб — это параллелограмм со всеми равными сторонами. Его ключевые свойства — равенство всех сторон и перпендикулярность диагоналей. Проверить правильность рисунка можно, убедившись, что все стороны равны и диагонали пересекаются под прямым углом.

Квадрат

Определение: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

Свойства:
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:
1. Все стороны равны.
2. Все углы прямые ($90^\circ$).
3. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам.
4. Диагонали являются биссектрисами углов квадрата, деля их на углы по $45^\circ$.

Построение и проверка:
Ниже представлен рисунок квадрата ABCD.

Чтобы проверить правильность нарисованного от руки квадрата, достаточно проверить, что он одновременно является ромбом и прямоугольником. Для этого нужно:
1. С помощью линейки убедиться, что все четыре стороны равны.
2. С помощью угольника убедиться, что хотя бы один угол прямой. (Если у ромба один угол прямой, то и все остальные углы будут прямыми).
Либо можно провести полную проверку: измерить все стороны (должны быть равны) и все углы (должны быть по $90^\circ$).

Ответ: Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Он сочетает свойства прямоугольника и ромба. Проверить рисунок можно, убедившись, что все стороны равны по длине и что все углы прямые.

9. Какой четырехугольник называется трапецией? Какие ее виды и свойства вы знаете?

Какой четырехугольник называется трапецией?

Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.

На рисунке ниже изображена трапеция $ABCD$. Её основаниями являются стороны $AD$ и $BC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $CD$. Высота $h$ — это перпендикуляр, проведённый между основаниями.

Ответ: Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Какие ее виды и свойства вы знаете?

Трапеции классифицируют по свойствам их боковых сторон и углов. Также они обладают рядом общих и частных геометрических свойств.

Виды трапеций:

• Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. На рисунке показано, что у такой трапеции также равны углы при основании (обозначены как $\alpha$).

• Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона одновременно является высотой трапеции. У такой трапеции два прямых угла.

• Разносторонняя трапеция — это трапеция, у которой все четыре стороны имеют разную длину.

Свойства трапеции:

Общие свойства (для всех трапеций):

• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$ справедливо: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

• Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна их полусумме. Если $a$ и $b$ — длины оснований, а $m$ — длина средней линии, то $m = \frac{a+b}{2}$.

• Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Также площадь равна произведению средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии и его длина равна полуразности оснований: $\frac{|b-a|}{2}$.

Свойства равнобедренной трапеции (в дополнение к общим):

• Углы при каждом основании равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$).

• Диагонали равны ($AC = BD$).

• Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Свойства прямоугольной трапеции (в дополнение к общим):

• Имеет два прямых угла, прилежащих к одной боковой стороне.

• Одна из боковых сторон является высотой трапеции.

Ответ: Основные виды трапеций: равнобедренная, прямоугольная и разносторонняя. Ключевые свойства трапеции: сумма углов у боковой стороны равна $180^\circ$, средняя линия равна полусумме оснований ($m = \frac{a+b}{2}$), а площадь — произведению средней линии на высоту ($S = m \cdot h$). Равнобедренная трапеция дополнительно имеет равные углы при основании и равные диагонали.

10. Что такое средняя линия треугольника (трапеции)? Какие ее свойства вы знаете?

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В треугольнике $ABC$ на рисунке ниже, отрезок $MN$ является средней линией, поскольку точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$.

Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника (основанию), которую она не пересекает. Для треугольника на рисунке: $MN \parallel AC$.
2. Длина средней линии равна половине длины этой третьей стороны. Для треугольника на рисунке: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины её боковых (непараллельных) сторон. В трапеции $ABCD$ на рисунке ниже, с основаниями $BC$ и $AD$, отрезок $MN$ является средней линией, так как точка $M$ — середина боковой стороны $AB$, а точка $N$ — середина боковой стороны $CD$.

Свойства средней линии трапеции:
1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции. Для трапеции на рисунке: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.
2. Длина средней линии равна полусумме длин оснований. Для трапеции на рисунке: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Ответ: Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

11. Сформулируйте теорему Пифагора. Постройте треугольник, соответствующий этой теореме. Укажите его элементы.

Сформулируйте теорему Пифагора

Теорема Пифагора — это фундаментальное соотношение в евклидовой геометрии между сторонами прямоугольного треугольника. Она утверждает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, лежащей против прямого угла), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (сторонах, прилежащих к прямому углу).

Если обозначить длины катетов прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорему можно записать в виде формулы: $a^2 + b^2 = c^2$

Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($c^2 = a^2 + b^2$).

Постройте треугольник, соответствующий этой теореме

Ниже построено изображение прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема Пифагора.

Ответ: Построен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Укажите его элементы

На построенном треугольнике ABC элементами являются его вершины, стороны и углы. Вершины треугольника — это точки A, B и C. Стороны AC и BC, прилежащие к прямому углу C, называются катетами (их длины обозначены как $b$ и $a$ соответственно). Сторона AB, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (её длина обозначена как $c$). Угол при вершине C является прямым и равен $90^\circ$ (на чертеже он отмечен квадратом), а углы при вершинах A и B — острые.

Для данного треугольника теорема Пифагора записывается как $AB^2 = AC^2 + BC^2$, или с использованием обозначений длин сторон: $c^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Элементами треугольника являются вершины (A, B, C), катеты (AC и BC), гипотенуза (AB) и прямой угол (при вершине C).