Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Укажите связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника. Напишите значения тригонометрических функций угла, равного $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.

Связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике устанавливают связь между величиной этого угла и отношением длин сторон треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Стороны, лежащие напротив вершин A, B и C, обозначим как a, b и c соответственно. В этом треугольнике a и b являются катетами, а c — гипотенузой.

Пусть α — это острый угол при вершине A. Тогда по отношению к углу α:

• катет a — противолежащий (находится напротив угла α);
• катет b — прилежащий (является одной из сторон, образующих угол α);
• сторона c — гипотенуза (самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла).

Основные тригонометрические функции определяются следующими отношениями:

Синус (sin) острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $sin(α) = \frac{a}{c}$

Косинус (cos) острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $cos(α) = \frac{b}{c}$

Тангенс (tan) острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $tan(α) = \frac{a}{b}$

Котангенс (cot) острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету: $cot(α) = \frac{b}{a}$

Ответ: Связь тригонометрических функций острого угла α в прямоугольном треугольнике с его сторонами (где a – противолежащий катет, b – прилежащий катет, c – гипотенуза) выражается формулами: $sin(α) = \frac{a}{c}$, $cos(α) = \frac{b}{c}$, $tan(α) = \frac{a}{b}$, $cot(α) = \frac{b}{a}$.

Значения тригонометрических функций угла, равного 30°, 45°, 60°

Ниже приведены стандартные значения тригонометрических функций для указанных углов.

Для угла 30°:

$sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$cot(30^\circ) = \sqrt{3}$

Для угла 45°:

$sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(45^\circ) = 1$

$cot(45^\circ) = 1$

Для угла 60°:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

$cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:
Значения для 30°: $sin = \frac{1}{2}$, $cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $cot = \sqrt{3}$.
Значения для 45°: $sin = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $tan = 1$, $cot = 1$.
Значения для 60°: $sin = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos = \frac{1}{2}$, $tan = \sqrt{3}$, $cot = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

13. Запишите формулы нахождения площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции. Назовите и укажите на рисунках, построенных вами, элементы, применяемые в этих формулах.

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (длины и ширины).

Формула площади: $S = a \cdot b$

На рисунке обозначены: a – длина и b – ширина прямоугольника.

Ответ: $S = a \cdot b$

Треугольник

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Формула площади: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$

На рисунке обозначены: a – основание треугольника и h – высота, проведенная к этому основанию.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$

Параллелограмм

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Формула площади: $S = a \cdot h$

На рисунке обозначены: a – основание параллелограмма и h – высота, проведенная к этому основанию.

Ответ: $S = a \cdot h$

Трапеция

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Формула площади: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

На рисунке обозначены: a и b – основания трапеции, h – высота трапеции.

Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

14. Что такое скалярная величина, векторная величина? Какие векторы называются коллинеарными? Какая связь между вектором и преобразованием параллельного переноса?

Что такое скалярная величина, векторная величина? Скалярная величина (или скаляр) – это физическая или математическая величина, которая полностью определяется своим числовым значением в выбранной системе единиц и не имеет направления. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура, время, работа, энергия. Векторная величина (или вектор) – это величина, которая для своего полного определения требует задания не только числового значения (называемого модулем или длиной), но и направления в пространстве. Векторные величины графически представляются в виде направленных отрезков. Примерами векторных величин служат перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс.
Ответ: Скалярная величина характеризуется только числовым значением, в то время как векторная величина характеризуется как числовым значением (модулем), так и направлением.

Какие векторы называются коллинеарными? Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, нулевой вектор (вектор, у которого начало и конец совпадают) считается коллинеарным любому вектору.
Алгебраический критерий коллинеарности: два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.
При этом:
- Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону). Это обозначается как $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$.
- Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (направлены в противоположные стороны). Это обозначается как $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.
- Если $k = 0$, то $\vec{a}$ является нулевым вектором.

Ответ: Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; это означает, что один вектор может быть получен из другого умножением на скаляр.

Какая связь между вектором и преобразованием параллельного переноса? Связь между вектором и параллельным переносом прямая и фундаментальная: каждый параллельный перенос в пространстве или на плоскости однозначно задается вектором. Этот вектор называется вектором переноса.
Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры (или всего пространства) сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор переноса как раз и определяет это общее для всех точек направление и расстояние сдвига.
Если точка $M$ с координатами $(x, y)$ переносится в точку $M'$ с координатами $(x', y')$, и вектор переноса равен $\vec{v} = (a, b)$, то преобразование описывается следующими формулами:
$x' = x + a$
$y' = y + b$
Это можно записать в векторной форме: если $\vec{r}$ — радиус-вектор точки $M$ (вектор $\vec{OM}$), а $\vec{r'}$ — радиус-вектор точки $M'$ (вектор $\vec{OM'}$), то $\vec{r'} = \vec{r} + \vec{v}$. Таким образом, чтобы найти образ любой точки при параллельном переносе, нужно к ее радиус-вектору прибавить вектор переноса.
Ответ: Любой параллельный перенос задается вектором, который определяет направление и расстояние смещения всех точек. И наоборот, любой вектор может задавать преобразование параллельного переноса.

15. Что такое модуль вектора? Какие векторы называют равными? Как найти сумму и разность векторов? На рисунке покажите, как можно разложить вектор на составляющие, расположенные на пересекающихся прямых.

Что такое модуль вектора?

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора называют длину направленного отрезка, который представляет этот вектор. Модуль вектора – это скалярная (числовая) неотрицательная величина.

Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.

Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе координат, его модуль можно вычислить по теореме Пифагора.

• Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на плоскости его модуль равен: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $.
• Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ в пространстве его модуль равен: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $.

Например, модуль вектора $\vec{b} = (3, 4)$ равен $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Модуль вектора — это его длина, которая вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называют равными, если они удовлетворяют трем условиям:

1. Их модули (длины) равны.
2. Они коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
3. Они сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону.

Равенство векторов означает, что их можно совместить параллельным переносом. Важно, что равные векторы не обязательно должны иметь общее начало.

В координатной форме два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны. Если есть два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$, то равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется, если $a_x = b_x$ и $a_y = b_y$.

Ответ: Равными называют векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Как найти сумму и разность векторов?

Существует несколько способов нахождения суммы и разности векторов: геометрический (с помощью правил) и алгебраический (по координатам).

Сложение векторов ($\vec{a} + \vec{b}$):

• Правило треугольника: Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца первого вектора ($\vec{a}$) отложить второй вектор ($\vec{b}$). Суммирующий вектор ($\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$) будет направлен от начала первого вектора к концу второго.

• Правило параллелограмма: Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить их от одной точки. Затем на этих векторах как на сторонах строят параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, является их суммой.

• Координатный способ: Координаты вектора-суммы равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов. Для $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ их сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\vec{c} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$.

Вычитание векторов ($\vec{a} - \vec{b}$):

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{d}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$: $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$.

• Геометрический способ: Чтобы найти разность $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить оба вектора из одной точки. Вектор разности будет направлен от конца вектора-вычитаемого ($\vec{b}$) к концу вектора-уменьшаемого ($\vec{a}$).

• Через противоположный вектор: Разность $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сумму $\vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ — вектор, равный по модулю вектору $\vec{b}$, но противоположный ему по направлению.

• Координатный способ: Координаты вектора-разности равны разности соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов. Для $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ их разность $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\vec{d} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$.

Ответ: Сумму и разность векторов можно найти геометрически (по правилу треугольника или параллелограмма) или алгебраически (сложив или вычтя их соответствующие координаты).

На рисунке покажите, как можно разложить вектор на составляющие, расположенные на пересекающихся прямых.

Любой вектор можно разложить на два (в плоскости) или три (в пространстве) вектора, направленных вдоль заданных непараллельных прямых (осей). Эти векторы называются составляющими или компонентами исходного вектора.

Чтобы разложить вектор $\vec{c}$ на составляющие $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$, лежащие на двух пересекающихся прямых $l_1$ и $l_2$, нужно использовать правило, обратное правилу параллелограмма:

1. Начало вектора $\vec{c}$ помещаем в точку пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.
2. Через конец вектора $\vec{c}$ проводим прямую, параллельную прямой $l_2$, до ее пересечения с прямой $l_1$. Вектор $\vec{c_1}$, проведенный из точки пересечения прямых до полученной точки на $l_1$, будет первой составляющей.
3. Аналогично, через конец вектора $\vec{c}$ проводим прямую, параллельную $l_1$, до ее пересечения с прямой $l_2$. Вектор $\vec{c_2}$, проведенный из точки пересечения прямых до полученной точки на $l_2$, будет второй составляющей.

В результате вектор $\vec{c}$ оказывается диагональю параллелограмма, построенного на его составляющих $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$, то есть $\vec{c} = \vec{c_1} + \vec{c_2}$.

Ответ: Разложение вектора на составляющие по двум пересекающимся прямым выполняется с помощью построения, обратного правилу параллелограмма, где исходный вектор является диагональю, а составляющие — сторонами параллелограмма, лежащими на заданных прямых.

16. Что такое угол между векторами, скалярное произведение векторов?

Что такое угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол между ними, который образуется, если отложить оба вектора от одной и той же точки (то есть совместить их начала).

На рисунке показаны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от общего начала в точке $O$. Угол $\alpha$, обозначаемый как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, является углом между векторами. Величина этого угла может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ в радианах).

В частности, если векторы сонаправлены, то угол между ними равен $0^\circ$. Если векторы противоположно направлены, угол равен $180^\circ$. Для перпендикулярных (ортогональных) векторов угол составляет $90^\circ$. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол между ними не определен.

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке. Его значение лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Что такое скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов — это число (скаляр), которое зависит от длин этих векторов и угла между ними. Существует два эквивалентных определения скалярного произведения.

1. Геометрическое определение: Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.
Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

2. Алгебраическое определение: В прямоугольной системе координат скалярным произведением двух векторов является сумма произведений их соответствующих координат.
Если $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.
Если $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Скалярное произведение имеет важное практическое значение. Оно позволяет определить взаимное расположение векторов и найти угол между ними.
- Угол между векторами можно найти по формуле: $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (и векторы ненулевые), то векторы перпендикулярны (ортогональны).
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол между векторами острый ($< 90^\circ$).
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол между векторами тупой ($> 90^\circ$).
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ: Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. В координатной форме оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

17. Что такое координаты вектора? Напишите скалярное произведение векторов в координатной форме, условия коллинеарности и ортогональности векторов. Напишите формулу нахождения угла между векторами.

Координаты вектора

Координатами вектора в заданной системе координат называются коэффициенты его разложения по базисным векторам этой системы. В прямоугольной (декартовой) системе координат в пространстве с базисными векторами (ортами) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, любой вектор $\vec{a}$ можно однозначно представить в виде линейной комбинации: $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$. Числа $a_x, a_y, a_z$ и являются координатами вектора $\vec{a}$. Координаты вектора принято записывать в круглых или фигурных скобках: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ или $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$.

Геометрически координаты вектора, отложенного от начала координат, совпадают с координатами его конечной точки. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своей начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты разложения вектора по базисным векторам. В декартовой системе координат для вектора $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ числа $a_x, a_y, a_z$ являются его координатами (проекциями на оси координат).

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$, заданных в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.

Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Условия коллинеарности и ортогональности векторов

Условие коллинеарности: Два ненулевых вектора $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ являются коллинеарными (т.е. лежат на одной или на параллельных прямых), если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k \ne 0$, что $\vec{a} = k \vec{b}$. В координатах это записывается как:$\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$.Если какая-либо из координат вектора $\vec{b}$ равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{a}$ также должна быть равна нулю.

Условие ортогональности: Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. В координатах это условие записывается как: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$.

Ответ: Условие коллинеарности: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$. Условие ортогональности: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$.

Формула нахождения угла между векторами

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ определяется как отношение их скалярного произведения к произведению их длин (модулей). Формула, выраженная через координаты векторов, имеет вид:

$\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$

Сам угол $\theta$ находится путем вычисления арккосинуса от полученного значения.

Ответ: $\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.

18. Что такое направляющий вектор, вектор нормали прямой? Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

Что такое направляющий вектор, вектор нормали прямой?

Направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой или параллелен ей. Он задает направление прямой. Если на прямой выбраны две различные точки $A$ и $B$, то вектор $\vec{AB}$ будет направляющим вектором этой прямой.

Если прямая на плоскости задана каноническим уравнением $ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} $ или параметрическими уравнениями $ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases} $, то вектор $\vec{a} = \{l; m\}$ является ее направляющим вектором.

Вектор нормали (или нормальный вектор) прямой – это любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, а следовательно, и ее направляющему вектору.

Если прямая на плоскости задана общим уравнением $ Ax + By + C = 0 $, то вектор $\vec{n} = \{A; B\}$ является ее вектором нормали.

Направляющий вектор $\vec{a}$ и вектор нормали $\vec{n}$ одной и той же прямой ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: $ \vec{a} \cdot \vec{n} = 0 $.

Ответ: Направляющий вектор – это ненулевой вектор, параллельный прямой. Вектор нормали – это ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть на плоскости даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Возьмем на этой прямой произвольную точку $M(x, y)$. Тогда векторы $\vec{M_1M}$ и $\vec{M_1M_2}$ будут коллинеарны (лежать на одной прямой).

Найдем координаты этих векторов:
$ \vec{M_1M} = \{x - x_1; y - y_1\} $
$ \vec{M_1M_2} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $

Вектор $\vec{M_1M_2}$ является направляющим вектором искомой прямой. Условие коллинеарности двух ненулевых векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат. Отсюда получаем уравнение прямой:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки.

Данная формула используется, когда $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. В частных случаях:
- Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна, и ее уравнение $x = x_1$.
- Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна, и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, имеет вид: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $.

Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан отрезок с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Точка $C(x, y)$ делит этот отрезок в отношении $\lambda$, если выполняется векторное равенство $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$. Число $\lambda$ равно отношению длин отрезков: $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$.

Координаты точки $C$ вычисляются по следующим формулам:

$ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $

$ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $

Эти формулы справедливы при $\lambda \neq -1$. Если $\lambda > 0$, точка $C$ лежит внутри отрезка $AB$. Если $\lambda < 0$ (и $\lambda \neq -1$), точка $C$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$.

В частном случае, когда точка $C$ является серединой отрезка $AB$, отношение $\lambda = 1$. Тогда формулы для координат середины отрезка принимают вид:

$ x = \frac{x_1 + x_2}{2} $; $ y = \frac{y_1 + y_2}{2} $

Ответ: Координаты точки $C(x, y)$, делящей отрезок с концами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в отношении $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$, находятся по формулам: $ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $, $ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $.

19. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте теоремы косинусов и синусов.

Что означают слова «решение треугольника»?

Под «решением треугольника» понимают процесс нахождения всех его неизвестных элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-либо трём из этих элементов, которые заданы изначально. Важным условием является то, что среди заданных элементов должна быть хотя бы одна сторона, так как три угла определяют лишь форму треугольника, но не его размеры.

Таким образом, решение треугольника — это вычисление трёх неизвестных из шести его основных характеристик (длины сторон $a, b, c$ и величины углов $\alpha, \beta, \gamma$). Для этого используются тригонометрические теоремы, в первую очередь теоремы синусов и косинусов, а также свойство суммы углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$).

Ответ: Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по трём известным элементам, где как минимум один из них является стороной.

Сформулируйте теоремы косинусов и синусов.

Для формулировки теорем рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Математически это выражается следующими формулами:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение любой стороны к синусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника и равно диаметру ($2R$) описанной около него окружности.
Математически это выражается так:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$
где $R$ — радиус описанной окружности треугольника.

Ответ:
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними (например, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$).
Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной окружности ($\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$).

20. Что называется осевой симметрией, центральной симметрией, поворотом и параллельным переносом? Какими общими свойствами обладают эти преобразования?

Осевая симметрия

Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Прямая $l$ называется осью симметрии.

Если точка лежит на оси симметрии, то она отображается сама на себя. Такие точки называются неподвижными.

Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$, симметричную ей относительно прямой $l$.

Центральная симметрия

Центральной симметрией относительно точки $O$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Точка $O$ называется центром симметрии.

Центр симметрии $O$ является единственной неподвижной точкой этого преобразования. Центральная симметрия является частным случаем поворота на угол $180^\circ$.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$, для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что $OM = OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$. Точка $O$ называется центром поворота, а $\alpha$ – углом поворота.

При повороте центр поворота $O$ остается на месте. Если угол поворота равен $360^\circ$ (или кратен $360^\circ$), то любая точка переходит в себя (тождественное преобразование).

Ответ: Поворот вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что отрезки $OM$ и $OM'$ равны, а угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Если точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(v_x; v_y)$, то точка $M'$ будет иметь координаты $(x+v_x; y+v_y)$.

При параллельном переносе на ненулевой вектор нет неподвижных точек. Прямые переходят в параллельные им прямые (или в себя, если они параллельны вектору переноса).

Ответ: Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Общие свойства

Все четыре перечисленных преобразования (осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос) являются движениями (или изометриями). Движение – это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

То есть, если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$.

Из этого основного свойства вытекают и другие общие свойства:

• Они переводят прямые в прямые.
• Они переводят отрезки в равные им отрезки.
• Они переводят лучи в лучи.
• Они сохраняют величину углов между лучами.
• Они переводят любую фигуру в равную (конгруэнтную) ей фигуру.

Ответ: Общим свойством этих преобразований является то, что все они являются движениями (изометриями), то есть сохраняют расстояния между точками и, как следствие, переводят любую фигуру в равную ей фигуру.

21. Что такое преобразование подобия, гомотетия? Сформулируйте признаки подобия треугольников.

Преобразование подобия

Преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их образов $M'$ и $N'$ фигуры $F'$ выполняется соотношение $|M'N'| = k \cdot |MN|$, где $k$ — постоянное положительное число, называется преобразованием подобия. Число $k$ называется коэффициентом подобия.

Другими словами, преобразование подобия — это такое преобразование, которое изменяет все расстояния в одно и то же число раз. Оно сохраняет углы между линиями и форму фигур, но не обязательно их размеры. Если $k=1$, преобразование подобия является движением (изометрией).

Ответ: Преобразование подобия — это преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз ($k>0$), называемое коэффициентом подобия. При этом преобразовании сохраняются углы.

Гомотетия

Гомотетия — это частный случай преобразования подобия. Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \ne 0$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ плоскости в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Точка $O$ называется центром гомотетии, а число $k$ — коэффициентом гомотетии. Если $k>0$, гомотетия называется прямой, и точки $M$ и $M'$ лежат на одном луче, выходящем из центра $O$. Если $k<0$, гомотетия называется обратной, и точка $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$. Гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом подобия $|k|$.

Пример гомотетии с центром O и коэффициентом k=2:

Ответ: Гомотетия — это преобразование плоскости относительно точки (центра $O$), при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, причем отношение расстояний $|OM'|:|OM|$ постоянно и равно $|k|$, где $k$ - коэффициент гомотетии.

Признаки подобия треугольников

Существует три основных признака подобия для двух треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

1. Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

3. Третий признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признаки подобия треугольников: 1) по двум равным углам; 2) по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними; 3) по трём пропорциональным сторонам.

22. Что называется окружностью? Назовите ее основные элементы.
Как найти длину окружности, длину ее дуги?

Что называется окружностью?
Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом. Таким образом, окружность является границей круга.

Ответ: Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки этой плоскости (центра).

Назовите ее основные элементы.
К основным элементам окружности относятся следующие понятия, проиллюстрированные на рисунке:



Центр (O) — точка, равноудаленная от всех точек окружности.
Радиус (R) — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.
Диаметр (D) — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Длина диаметра равна двум радиусам: $D = 2R$.
Хорда — отрезок, соединяющий две любые точки окружности. Диаметр является самой длинной хордой.
Дуга — часть окружности, расположенная между двумя её точками.
Касательная — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.
Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Основные элементы окружности: центр, радиус, диаметр, хорда, дуга.

Как найти длину окружности, длину ее дуги?
Длина окружности
Длина окружности, обозначаемая буквой $C$, вычисляется с использованием числа $\pi$ (пи), которое является математической константой, равной отношению длины окружности к её диаметру ($\pi \approx 3.14159$).
Формулы для вычисления длины окружности:
1. Через радиус ($R$): $C = 2 \pi R$
2. Через диаметр ($D$): $C = \pi D$

Длина дуги окружности
Длина дуги, обозначаемая буквой $L$, является частью длины всей окружности. Её можно вычислить, зная радиус окружности ($R$) и величину центрального угла ($\alpha$), который опирается на эту дугу.
Формулы для вычисления длины дуги:
1. Если центральный угол $\alpha$ выражен в градусах: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$
Эта формула показывает, какую часть от половины длины окружности ($\pi R$) составляет дуга с углом $\alpha$.
2. Если центральный угол $\alpha$ выражен в радианах: $L = R \alpha$
Эта формула более проста и часто используется в высшей математике и физике.

Ответ: Длину окружности можно найти по формулам $C = 2 \pi R$ (через радиус) или $C = \pi D$ (через диаметр). Длину дуги можно найти по формуле $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ (если центральный угол $\alpha$ в градусах) или $L = R \alpha$ (если центральный угол $\alpha$ в радианах).

23. Что называется кругом? Запишите формулы площадей круга, сегмента?

Что называется кругом? Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Иначе говоря, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.
Ответ: Круг – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, находящихся на расстоянии не более заданного от центральной точки.

Формулы площадей круга Площадь круга можно вычислить, зная его радиус или диаметр.
1. Формула площади круга через радиус $R$:
$S = \pi R^2$
2. Формула площади круга через диаметр $D$. Так как $D = 2R$, то $R = D/2$. Подставив это в первую формулу, получим:
$S = \pi (\frac{D}{2})^2 = \frac{\pi D^2}{4}$
В этих формулах $S$ – это площадь круга, $R$ – радиус, $D$ – диаметр, а $\pi$ – математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.
Ответ: $S = \pi R^2$ (через радиус) и $S = \frac{\pi D^2}{4}$ (через диаметр).

Формулы площадей сегмента Круговой сегмент — это часть круга, которая ограничена дугой и стягивающей её хордой.

На рисунке сегмент, ограниченный дугой AB и хордой AB, закрашен синим. Площадь сегмента находят как разность площадей кругового сектора AOB и треугольника AOB.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$
Формула площади зависит от того, в каких единицах измеряется центральный угол $\alpha$.
1. Если центральный угол $\alpha$ выражен в радианах:
$S = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin \alpha)$
2. Если центральный угол $\alpha$ выражен в градусах:
$S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$
Здесь $S$ – площадь сегмента, $R$ – радиус круга, $\alpha$ – центральный угол, опирающийся на дугу сегмента.
Ответ: $S = \frac{1}{2} R^2 (\alpha_{рад} - \sin \alpha_{рад})$ или $S = \frac{\pi R^2 \alpha_{град}}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha_{град}$.

24. Назовите свойства пропорциональных отрезков круга. Каким свойством обладают вписанные в окружность углы?

Свойства пропорциональных отрезков круга

Пропорциональные отрезки в круге (или, точнее, в окружности) связаны несколькими ключевыми теоремами, которые описывают соотношения между длинами отрезков, образованных пересекающимися хордами, секущими и касательными.

1. Теорема о пересекающихся хордах. Если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке внутри круга, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Для них справедливо равенство:
$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

2. Теорема о касательной и секущей. Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной (от данной точки до точки касания) равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Для касательной $PA$ (где $A$ — точка касания) и секущей, проходящей через точки $B$ и $C$, справедливо равенство:
$PA^2 = PB \cdot PC$

3. Теорема о двух секущих. Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Для двух секущих, проведенных из точки $P$ и пересекающих окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно (где $A$ и $C$ — ближние к $P$ точки пересечения), справедливо равенство:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Ответ: Свойства пропорциональных отрезков в круге определяются теоремами о пересекающихся хордах ($AP \cdot PB = CP \cdot PD$), о касательной и секущей ($PA^2 = PB \cdot PC$), и о двух секущих ($PA \cdot PB = PC \cdot PD$).

Свойство вписанных в окружность углов

Вписанные в окружность углы (углы, вершина которых лежит на окружности, а стороны пересекают её) обладают рядом фундаментальных свойств.

1. Теорема о вписанном угле. Основное свойство заключается в том, что величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Это также означает, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Если $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, а $\angle AOC$ — соответствующий центральный угол, то:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC = \frac{1}{2} \angle AOC$

Из этой теоремы вытекают два важных следствия:

2. Следствие 1: Равенство углов, опирающихся на одну дугу. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

На рисунке углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$, поэтому их величины равны:
$\angle ABC = \angle ADC$

3. Следствие 2: Угол, опирающийся на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (или на полуокружность), всегда является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Если отрезок $AC$ является диаметром окружности, то любой вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на него, равен $90^\circ$.

Ответ: Вписанный в окружность угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Как следствие, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым ($90^\circ$).

25. Чему равна сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника?

Для нахождения общей суммы внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника, рассмотрим его свойства. Пусть у нас есть выпуклый многоугольник с $n$ сторонами. Такой многоугольник имеет $n$ вершин и, соответственно, $n$ внутренних углов.

В каждой вершине многоугольника внутренний угол и смежный с ним внешний угол (взятый при той же вершине) в сумме составляют развернутый угол, то есть $180^\circ$.

Поскольку в $n$-угольнике $n$ вершин, то таких пар "внутренний угол + внешний угол" будет ровно $n$. Чтобы найти сумму всех внутренних и всех внешних углов, нужно сложить суммы углов для каждой из $n$ вершин. Это эквивалентно умножению количества вершин на $180^\circ$.

Следовательно, искомая сумма равна $n \cdot 180^\circ$.

Этот результат можно также получить, сложив известную формулу суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника, $S_{внутр} = (n-2) \cdot 180^\circ$, и сумму его внешних углов (взятых по одному у каждой вершины), которая всегда равна $360^\circ$.

$S_{общая} = S_{внутр} + S_{внешн} = ((n-2) \cdot 180^\circ) + 360^\circ = 180^\circ n - 360^\circ + 360^\circ = 180^\circ n$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Сумма внутренних и внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $n \cdot 180^\circ$, где $n$ – количество сторон (или вершин) многоугольника.

26. Каким свойством обладает биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. Она обладает несколькими ключевыми свойствами.

Теорема о биссектрисе

Это основное свойство, которое связывает биссектрису с длинами сторон треугольника. Теорема гласит: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $CL$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$, справедливо следующее соотношение. Пусть стороны $AC=b$ и $BC=a$, а отрезки, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равны $AL=m$ и $LB=n$.

Тогда соотношение имеет вид:

$$ \frac{m}{n} = \frac{b}{a} $$

Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в треугольник. Это означает, что инцентр равноудален от всех трех сторон треугольника, и это расстояние равно радиусу вписанной окружности.

На рисунке точка $O$ является инцентром — точкой пересечения биссектрис и центром вписанной окружности.

Формула длины биссектрисы

Длину биссектрисы можно вычислить по формуле, зная длины сторон треугольника и отрезков, на которые она делит противоположную сторону. Для биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$ к стороне $c$, прилежащих сторон $a$ и $b$, и отрезков $m$ и $n$ (на которые делится сторона $c$), формула выглядит так:

$$ l_c^2 = ab - mn $$

Эта формула позволяет найти длину биссектрисы, если известны все три стороны треугольника (так как отрезки $m$ и $n$ можно найти через теорему о биссектрисе).

Ответ: Биссектриса треугольника обладает следующими основными свойствами: 1) она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (теорема о биссектрисе); 2) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — инцентре, который является центром вписанной в треугольник окружности; 3) ее длина может быть вычислена по формуле, связывающей ее со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону.