Номер 17, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Что такое координаты вектора? Напишите скалярное произведение векторов в координатной форме, условия коллинеарности и ортогональности векторов. Напишите формулу нахождения угла между векторами.

Координаты вектора

Координатами вектора в заданной системе координат называются коэффициенты его разложения по базисным векторам этой системы. В прямоугольной (декартовой) системе координат в пространстве с базисными векторами (ортами) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, любой вектор $\vec{a}$ можно однозначно представить в виде линейной комбинации: $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$. Числа $a_x, a_y, a_z$ и являются координатами вектора $\vec{a}$. Координаты вектора принято записывать в круглых или фигурных скобках: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ или $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$.

Геометрически координаты вектора, отложенного от начала координат, совпадают с координатами его конечной точки. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своей начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты разложения вектора по базисным векторам. В декартовой системе координат для вектора $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ числа $a_x, a_y, a_z$ являются его координатами (проекциями на оси координат).

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$, заданных в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.

Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Условия коллинеарности и ортогональности векторов

Условие коллинеарности: Два ненулевых вектора $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ являются коллинеарными (т.е. лежат на одной или на параллельных прямых), если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k \ne 0$, что $\vec{a} = k \vec{b}$. В координатах это записывается как:$\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$.Если какая-либо из координат вектора $\vec{b}$ равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата вектора $\vec{a}$ также должна быть равна нулю.

Условие ортогональности: Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. В координатах это условие записывается как: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$.

Ответ: Условие коллинеарности: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$. Условие ортогональности: $a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$.

Формула нахождения угла между векторами

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ определяется как отношение их скалярного произведения к произведению их длин (модулей). Формула, выраженная через координаты векторов, имеет вид:

$\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$

Сам угол $\theta$ находится путем вычисления арккосинуса от полученного значения.

Ответ: $\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.