Номер 16, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Что такое угол между векторами, скалярное произведение векторов?

Что такое угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол между ними, который образуется, если отложить оба вектора от одной и той же точки (то есть совместить их начала).

На рисунке показаны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от общего начала в точке $O$. Угол $\alpha$, обозначаемый как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, является углом между векторами. Величина этого угла может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ в радианах).

В частности, если векторы сонаправлены, то угол между ними равен $0^\circ$. Если векторы противоположно направлены, угол равен $180^\circ$. Для перпендикулярных (ортогональных) векторов угол составляет $90^\circ$. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол между ними не определен.

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол между ними, когда их начала совмещены в одной точке. Его значение лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Что такое скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов — это число (скаляр), которое зависит от длин этих векторов и угла между ними. Существует два эквивалентных определения скалярного произведения.

1. Геометрическое определение: Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.
Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

2. Алгебраическое определение: В прямоугольной системе координат скалярным произведением двух векторов является сумма произведений их соответствующих координат.
Если $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.
Если $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Скалярное произведение имеет важное практическое значение. Оно позволяет определить взаимное расположение векторов и найти угол между ними.
- Угол между векторами можно найти по формуле: $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (и векторы ненулевые), то векторы перпендикулярны (ортогональны).
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол между векторами острый ($< 90^\circ$).
- Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол между векторами тупой ($> 90^\circ$).
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ: Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. В координатной форме оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов.