Номер 18, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Что такое направляющий вектор, вектор нормали прямой? Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

Что такое направляющий вектор, вектор нормали прямой?

Направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой или параллелен ей. Он задает направление прямой. Если на прямой выбраны две различные точки $A$ и $B$, то вектор $\vec{AB}$ будет направляющим вектором этой прямой.

Если прямая на плоскости задана каноническим уравнением $ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} $ или параметрическими уравнениями $ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases} $, то вектор $\vec{a} = \{l; m\}$ является ее направляющим вектором.

Вектор нормали (или нормальный вектор) прямой – это любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, а следовательно, и ее направляющему вектору.

Если прямая на плоскости задана общим уравнением $ Ax + By + C = 0 $, то вектор $\vec{n} = \{A; B\}$ является ее вектором нормали.

Направляющий вектор $\vec{a}$ и вектор нормали $\vec{n}$ одной и той же прямой ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: $ \vec{a} \cdot \vec{n} = 0 $.

Ответ: Направляющий вектор – это ненулевой вектор, параллельный прямой. Вектор нормали – это ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть на плоскости даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Возьмем на этой прямой произвольную точку $M(x, y)$. Тогда векторы $\vec{M_1M}$ и $\vec{M_1M_2}$ будут коллинеарны (лежать на одной прямой).

Найдем координаты этих векторов:
$ \vec{M_1M} = \{x - x_1; y - y_1\} $
$ \vec{M_1M_2} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $

Вектор $\vec{M_1M_2}$ является направляющим вектором искомой прямой. Условие коллинеарности двух ненулевых векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат. Отсюда получаем уравнение прямой:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки.

Данная формула используется, когда $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. В частных случаях:
- Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна, и ее уравнение $x = x_1$.
- Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна, и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, имеет вид: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $.

Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан отрезок с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Точка $C(x, y)$ делит этот отрезок в отношении $\lambda$, если выполняется векторное равенство $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$. Число $\lambda$ равно отношению длин отрезков: $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$.

Координаты точки $C$ вычисляются по следующим формулам:

$ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $

$ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $

Эти формулы справедливы при $\lambda \neq -1$. Если $\lambda > 0$, точка $C$ лежит внутри отрезка $AB$. Если $\lambda < 0$ (и $\lambda \neq -1$), точка $C$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$.

В частном случае, когда точка $C$ является серединой отрезка $AB$, отношение $\lambda = 1$. Тогда формулы для координат середины отрезка принимают вид:

$ x = \frac{x_1 + x_2}{2} $; $ y = \frac{y_1 + y_2}{2} $

Ответ: Координаты точки $C(x, y)$, делящей отрезок с концами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ в отношении $\lambda = \frac{|AC|}{|CB|}$, находятся по формулам: $ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} $, $ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $.