Номер 21, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Что такое преобразование подобия, гомотетия? Сформулируйте признаки подобия треугольников.

Преобразование подобия

Преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их образов $M'$ и $N'$ фигуры $F'$ выполняется соотношение $|M'N'| = k \cdot |MN|$, где $k$ — постоянное положительное число, называется преобразованием подобия. Число $k$ называется коэффициентом подобия.

Другими словами, преобразование подобия — это такое преобразование, которое изменяет все расстояния в одно и то же число раз. Оно сохраняет углы между линиями и форму фигур, но не обязательно их размеры. Если $k=1$, преобразование подобия является движением (изометрией).

Ответ: Преобразование подобия — это преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз ($k>0$), называемое коэффициентом подобия. При этом преобразовании сохраняются углы.

Гомотетия

Гомотетия — это частный случай преобразования подобия. Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \ne 0$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ плоскости в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Точка $O$ называется центром гомотетии, а число $k$ — коэффициентом гомотетии. Если $k>0$, гомотетия называется прямой, и точки $M$ и $M'$ лежат на одном луче, выходящем из центра $O$. Если $k<0$, гомотетия называется обратной, и точка $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$. Гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом подобия $|k|$.

Пример гомотетии с центром O и коэффициентом k=2:

Ответ: Гомотетия — это преобразование плоскости относительно точки (центра $O$), при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, причем отношение расстояний $|OM'|:|OM|$ постоянно и равно $|k|$, где $k$ - коэффициент гомотетии.

Признаки подобия треугольников

Существует три основных признака подобия для двух треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

1. Первый признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

2. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

3. Третий признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признаки подобия треугольников: 1) по двум равным углам; 2) по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними; 3) по трём пропорциональным сторонам.