Номер 20, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Что называется осевой симметрией, центральной симметрией, поворотом и параллельным переносом? Какими общими свойствами обладают эти преобразования?

Осевая симметрия

Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Прямая $l$ называется осью симметрии.

Если точка лежит на оси симметрии, то она отображается сама на себя. Такие точки называются неподвижными.

Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$, симметричную ей относительно прямой $l$.

Центральная симметрия

Центральной симметрией относительно точки $O$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Точка $O$ называется центром симметрии.

Центр симметрии $O$ является единственной неподвижной точкой этого преобразования. Центральная симметрия является частным случаем поворота на угол $180^\circ$.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$, для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется преобразование, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что $OM = OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$. Точка $O$ называется центром поворота, а $\alpha$ – углом поворота.

При повороте центр поворота $O$ остается на месте. Если угол поворота равен $360^\circ$ (или кратен $360^\circ$), то любая точка переходит в себя (тождественное преобразование).

Ответ: Поворот вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что отрезки $OM$ и $OM'$ равны, а угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Если точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(v_x; v_y)$, то точка $M'$ будет иметь координаты $(x+v_x; y+v_y)$.

При параллельном переносе на ненулевой вектор нет неподвижных точек. Прямые переходят в параллельные им прямые (или в себя, если они параллельны вектору переноса).

Ответ: Параллельный перенос на вектор $\vec{a}$ – это преобразование, переводящее каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'} = \vec{a}$.

Общие свойства

Все четыре перечисленных преобразования (осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос) являются движениями (или изометриями). Движение – это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

То есть, если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$.

Из этого основного свойства вытекают и другие общие свойства:

• Они переводят прямые в прямые.
• Они переводят отрезки в равные им отрезки.
• Они переводят лучи в лучи.
• Они сохраняют величину углов между лучами.
• Они переводят любую фигуру в равную (конгруэнтную) ей фигуру.

Ответ: Общим свойством этих преобразований является то, что все они являются движениями (изометриями), то есть сохраняют расстояния между точками и, как следствие, переводят любую фигуру в равную ей фигуру.