Номер 15, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Что такое модуль вектора? Какие векторы называют равными? Как найти сумму и разность векторов? На рисунке покажите, как можно разложить вектор на составляющие, расположенные на пересекающихся прямых.

Что такое модуль вектора?

Модулем (или длиной, или абсолютной величиной) вектора называют длину направленного отрезка, который представляет этот вектор. Модуль вектора – это скалярная (числовая) неотрицательная величина.

Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.

Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе координат, его модуль можно вычислить по теореме Пифагора.

• Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на плоскости его модуль равен: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $.
• Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ в пространстве его модуль равен: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $.

Например, модуль вектора $\vec{b} = (3, 4)$ равен $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Модуль вектора — это его длина, которая вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Какие векторы называют равными?

Два ненулевых вектора называют равными, если они удовлетворяют трем условиям:

1. Их модули (длины) равны.
2. Они коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
3. Они сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону.

Равенство векторов означает, что их можно совместить параллельным переносом. Важно, что равные векторы не обязательно должны иметь общее начало.

В координатной форме два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны. Если есть два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y)$, то равенство $\vec{a} = \vec{b}$ выполняется, если $a_x = b_x$ и $a_y = b_y$.

Ответ: Равными называют векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Как найти сумму и разность векторов?

Существует несколько способов нахождения суммы и разности векторов: геометрический (с помощью правил) и алгебраический (по координатам).

Сложение векторов ($\vec{a} + \vec{b}$):

• Правило треугольника: Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца первого вектора ($\vec{a}$) отложить второй вектор ($\vec{b}$). Суммирующий вектор ($\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$) будет направлен от начала первого вектора к концу второго.

• Правило параллелограмма: Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить их от одной точки. Затем на этих векторах как на сторонах строят параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, является их суммой.

• Координатный способ: Координаты вектора-суммы равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов. Для $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ их сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $\vec{c} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$.

Вычитание векторов ($\vec{a} - \vec{b}$):

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{d}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$: $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$.

• Геометрический способ: Чтобы найти разность $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить оба вектора из одной точки. Вектор разности будет направлен от конца вектора-вычитаемого ($\vec{b}$) к концу вектора-уменьшаемого ($\vec{a}$).

• Через противоположный вектор: Разность $\vec{a} - \vec{b}$ можно представить как сумму $\vec{a} + (-\vec{b})$, где $-\vec{b}$ — вектор, равный по модулю вектору $\vec{b}$, но противоположный ему по направлению.

• Координатный способ: Координаты вектора-разности равны разности соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов. Для $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ их разность $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $\vec{d} = (a_x - b_x, a_y - b_y)$.

Ответ: Сумму и разность векторов можно найти геометрически (по правилу треугольника или параллелограмма) или алгебраически (сложив или вычтя их соответствующие координаты).

На рисунке покажите, как можно разложить вектор на составляющие, расположенные на пересекающихся прямых.

Любой вектор можно разложить на два (в плоскости) или три (в пространстве) вектора, направленных вдоль заданных непараллельных прямых (осей). Эти векторы называются составляющими или компонентами исходного вектора.

Чтобы разложить вектор $\vec{c}$ на составляющие $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$, лежащие на двух пересекающихся прямых $l_1$ и $l_2$, нужно использовать правило, обратное правилу параллелограмма:

1. Начало вектора $\vec{c}$ помещаем в точку пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.
2. Через конец вектора $\vec{c}$ проводим прямую, параллельную прямой $l_2$, до ее пересечения с прямой $l_1$. Вектор $\vec{c_1}$, проведенный из точки пересечения прямых до полученной точки на $l_1$, будет первой составляющей.
3. Аналогично, через конец вектора $\vec{c}$ проводим прямую, параллельную $l_1$, до ее пересечения с прямой $l_2$. Вектор $\vec{c_2}$, проведенный из точки пересечения прямых до полученной точки на $l_2$, будет второй составляющей.

В результате вектор $\vec{c}$ оказывается диагональю параллелограмма, построенного на его составляющих $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$, то есть $\vec{c} = \vec{c_1} + \vec{c_2}$.

Ответ: Разложение вектора на составляющие по двум пересекающимся прямым выполняется с помощью построения, обратного правилу параллелограмма, где исходный вектор является диагональю, а составляющие — сторонами параллелограмма, лежащими на заданных прямых.