Номер 9, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Какой четырехугольник называется трапецией? Какие ее виды и свойства вы знаете?

Какой четырехугольник называется трапецией?

Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.

На рисунке ниже изображена трапеция $ABCD$. Её основаниями являются стороны $AD$ и $BC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $CD$. Высота $h$ — это перпендикуляр, проведённый между основаниями.

Ответ: Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Какие ее виды и свойства вы знаете?

Трапеции классифицируют по свойствам их боковых сторон и углов. Также они обладают рядом общих и частных геометрических свойств.

Виды трапеций:

• Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. На рисунке показано, что у такой трапеции также равны углы при основании (обозначены как $\alpha$).

• Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона одновременно является высотой трапеции. У такой трапеции два прямых угла.

• Разносторонняя трапеция — это трапеция, у которой все четыре стороны имеют разную длину.

Свойства трапеции:

Общие свойства (для всех трапеций):

• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$ справедливо: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

• Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна их полусумме. Если $a$ и $b$ — длины оснований, а $m$ — длина средней линии, то $m = \frac{a+b}{2}$.

• Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Также площадь равна произведению средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии и его длина равна полуразности оснований: $\frac{|b-a|}{2}$.

Свойства равнобедренной трапеции (в дополнение к общим):

• Углы при каждом основании равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$).

• Диагонали равны ($AC = BD$).

• Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Свойства прямоугольной трапеции (в дополнение к общим):

• Имеет два прямых угла, прилежащих к одной боковой стороне.

• Одна из боковых сторон является высотой трапеции.

Ответ: Основные виды трапеций: равнобедренная, прямоугольная и разносторонняя. Ключевые свойства трапеции: сумма углов у боковой стороны равна $180^\circ$, средняя линия равна полусумме оснований ($m = \frac{a+b}{2}$), а площадь — произведению средней линии на высоту ($S = m \cdot h$). Равнобедренная трапеция дополнительно имеет равные углы при основании и равные диагонали.