Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Какой четырехугольник называется параллелограммом? Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке, построенном вами. Постройте от руки параллелограмм и проверьте выполнение признаков параллелограмма.

Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны.
Это означает, что если в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD лежат на параллельных прямых, а также стороны BC и AD лежат на параллельных прямых, то такой четырехугольник является параллелограммом. Математически это записывается так: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Ответ: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке, построенном вами.

Признаки параллелограмма — это теоремы, позволяющие определить, является ли данный четырехугольник параллелограммом, не используя напрямую его определение. Рассмотрим параллелограмм ABCD, изображенный на рисунке.

Существует три основных признака параллелограмма:

1. Признак по двум сторонам. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы знаем, что сторона $BC$ равна по длине стороне $AD$ ($BC = AD$) и при этом они параллельны ($BC \parallel AD$), то мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Признак по всем сторонам. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы измерили стороны и обнаружили, что длина $AB$ равна длине $CD$ ($AB = CD$), а также длина $BC$ равна длине $AD$ ($BC = AD$), то четырехугольник ABCD — это параллелограмм.

3. Признак по диагоналям. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Смысл на рисунке: Если мы проведем диагонали $AC$ и $BD$, и они пересекутся в точке $O$ так, что отрезок $AO$ равен отрезку $OC$ ($AO = OC$) и отрезок $BO$ равен отрезку $OD$ ($BO = OD$), то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Признаки параллелограмма: 1) Если две стороны четырехугольника равны и параллельны, он является параллелограммом. 2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, он является параллелограммом. 3) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, он является параллелограммом.

Постройте от руки параллелограмм и проверьте выполнение признаков параллелограмма.

1. Построение.
Чтобы построить параллелограмм от руки, можно выполнить следующие шаги:
а) Начертить на листе бумаги произвольный отрезок $AB$.
б) От точки $A$ под произвольным острым или тупым углом начертить еще один отрезок $AD$.
в) Теперь нужно построить стороны, параллельные уже существующим. Из точки $B$ проводим прямую, параллельную $AD$. Из точки $D$ проводим прямую, параллельную $AB$. Для этого можно использовать линейку и угольник.
г) Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $C$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом по определению.

2. Проверка признаков.
Возьмем линейку и измерим элементы построенного нами четырехугольника $ABCD$. Допустим, мы получили следующие измерения (значения могут быть другими для вашего чертежа): $AB = 6$ см, $AD = 4$ см.

Проверка признака попарного равенства сторон:
Измеряем сторону $CD$. Она должна быть равна стороне $AB$ (около 6 см). Измеряем сторону $BC$. Она должна быть равна стороне $AD$ (около 4 см). Если $AB \approx CD$ и $BC \approx AD$, то признак выполняется.

Проверка признака равенства и параллельности двух сторон:
Мы уже измерили, что $BC \approx AD$. Теперь нужно проверить их параллельность. Это можно сделать с помощью двух угольников или транспортира, проверив равенство соответственных или накрест лежащих углов при секущей (например, при секущей $BD$ углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ должны быть равны). Если $BC \approx AD$ и $BC \parallel AD$, то признак выполняется.

Проверка признака по диагоналям:
Проводим диагонали $AC$ и $BD$ и отмечаем их точку пересечения $O$. Измеряем линейкой получившиеся отрезки. Например, если диагональ $AC = 8.5$ см, то отрезки $AO$ и $OC$ должны быть равны примерно по $4.25$ см. Если диагональ $BD = 7$ см, то отрезки $BO$ и $OD$ должны быть равны примерно по $3.5$ см. Если $AO \approx OC$ и $BO \approx OD$, то признак выполняется.
Таким образом, на построенном от руки чертеже можно эмпирически (с помощью измерений) убедиться в выполнении всех признаков параллелограмма.

Ответ: Параллелограмм строится путем проведения двух пар параллельных прямых. Проверка признаков осуществляется с помощью линейки и транспортира/угольника путем измерения длин сторон и отрезков диагоналей, а также проверки параллельности сторон.