Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Сформулируйте признаки параллельности прямых. Постройте на глаз параллельные прямые (наклонно к линиям тетради) и проверьте их параллельность, применяя все три признака параллельности.

При пересечении двух прямых a и b третьей прямой c, называемой секущей, образуется восемь углов. Эти углы имеют специальные названия и свойства, которые лежат в основе признаков параллельности прямых.

Признаки параллельности прямых:

1. Первый признак (по накрест лежащим углам). Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. На рисунке выше накрест лежащими являются пары углов $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $, а также $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $. Таким образом, если $ \angle 4 = \angle 5 $ или $ \angle 3 = \angle 6 $, то $ a \parallel b $.

2. Второй признак (по соответственным углам). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Соответственными являются пары: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $, $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $, $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $, $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $. Если любая из этих пар углов равна, например $ \angle 1 = \angle 5 $, то $ a \parallel b $.

3. Третий признак (по односторонним углам). Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны. Односторонними являются пары: $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $, а также $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $. Если $ \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ $ или $ \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ $, то $ a \parallel b $.

Построение и проверка параллельности

Сначала построим на глаз две прямые a и b, которые выглядят параллельными, и проведем секущую c, пересекающую их. Пронумеруем некоторые из образовавшихся углов для проверки.

Теперь проверим параллельность прямых a и b, используя последовательно все три признака.

Проверка по накрест лежащим углам

Для проверки по первому признаку выберем пару накрест лежащих углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. С помощью транспортира измерим их величину. Допустим, измерения показали, что $ \angle 1 \approx 75^\circ $ и $ \angle 2 \approx 75^\circ $. Поскольку накрест лежащие углы равны ($ \angle 1 = \angle 2 $), можно сделать вывод, что прямые a и b параллельны.

Ответ: Так как измеренные накрест лежащие углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ оказались равны, прямые a и b параллельны по первому признаку.

Проверка по соответственным углам

Для проверки по второму признаку выберем пару соответственных углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $. Измерим угол $ \angle 3 $ транспортиром. Измерения должны показать, что $ \angle 3 \approx 75^\circ $. Так как мы уже измерили $ \angle 1 \approx 75^\circ $, получаем, что соответственные углы равны ($ \angle 1 = \angle 3 $). Это подтверждает параллельность прямых.

Ответ: Так как измеренные соответственные углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ оказались равны, прямые a и b параллельны по второму признаку.

Проверка по односторонним углам

Для проверки по третьему признаку выберем пару односторонних углов, например, $ \angle 1 $ и $ \angle 4 $. Мы уже знаем, что $ \angle 1 \approx 75^\circ $. Теперь измерим транспортиром угол $ \angle 4 $. Измерения должны показать, что $ \angle 4 \approx 105^\circ $. Найдем сумму этих углов: $ \angle 1 + \angle 4 \approx 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ $. Так как сумма односторонних углов равна $180^\circ$, прямые параллельны.

Ответ: Так как сумма измеренных односторонних углов $ \angle 1 $ и $ \angle 4 $ оказалась равна $180^\circ$, прямые a и b параллельны по третьему признаку.