Номер 24, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Назовите свойства пропорциональных отрезков круга. Каким свойством обладают вписанные в окружность углы?

Свойства пропорциональных отрезков круга

Пропорциональные отрезки в круге (или, точнее, в окружности) связаны несколькими ключевыми теоремами, которые описывают соотношения между длинами отрезков, образованных пересекающимися хордами, секущими и касательными.

1. Теорема о пересекающихся хордах. Если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке внутри круга, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

На рисунке хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Для них справедливо равенство:
$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

2. Теорема о касательной и секущей. Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной (от данной точки до точки касания) равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Для касательной $PA$ (где $A$ — точка касания) и секущей, проходящей через точки $B$ и $C$, справедливо равенство:
$PA^2 = PB \cdot PC$

3. Теорема о двух секущих. Если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Для двух секущих, проведенных из точки $P$ и пересекающих окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно (где $A$ и $C$ — ближние к $P$ точки пересечения), справедливо равенство:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Ответ: Свойства пропорциональных отрезков в круге определяются теоремами о пересекающихся хордах ($AP \cdot PB = CP \cdot PD$), о касательной и секущей ($PA^2 = PB \cdot PC$), и о двух секущих ($PA \cdot PB = PC \cdot PD$).

Свойство вписанных в окружность углов

Вписанные в окружность углы (углы, вершина которых лежит на окружности, а стороны пересекают её) обладают рядом фундаментальных свойств.

1. Теорема о вписанном угле. Основное свойство заключается в том, что величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Это также означает, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Если $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, а $\angle AOC$ — соответствующий центральный угол, то:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC = \frac{1}{2} \angle AOC$

Из этой теоремы вытекают два важных следствия:

2. Следствие 1: Равенство углов, опирающихся на одну дугу. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

На рисунке углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$, поэтому их величины равны:
$\angle ABC = \angle ADC$

3. Следствие 2: Угол, опирающийся на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (или на полуокружность), всегда является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Если отрезок $AC$ является диаметром окружности, то любой вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на него, равен $90^\circ$.

Ответ: Вписанный в окружность угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Как следствие, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым ($90^\circ$).