Номер 0.4, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.4. Какую фигуру можно построить, последовательно соединяя середины сторон:

1) треугольника;

2) прямоугольника;

3) ромба;

4) квадрата?

Обоснуйте ответ.

1) треугольника
Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CA$ как $F, D, E$ соответственно. Фигура, полученная последовательным соединением точек $D, E, F$, является треугольником $DEF$. Этот треугольник называют срединным треугольником. Его стороны являются средними линиями исходного треугольника. По теореме о средней линии, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Например, $EF$ — средняя линия, поэтому $EF || BC$ и $EF = \frac{1}{2}BC$. Следовательно, полученная фигура — это треугольник, подобный исходному.
Ответ: треугольник.

2) прямоугольника
Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половине. У прямоугольника диагонали равны. Пусть диагонали прямоугольника $ABCD$ это $AC$ и $BD$, тогда $AC = BD$. Фигура $MNPQ$, образованная серединами сторон, будет иметь стороны $MN = PQ = \frac{1}{2}AC$ и $NP = MQ = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC=BD$, то все стороны параллелограмма $MNPQ$ равны: $MN = NP = PQ = QM$. Параллелограмм с равными сторонами — это ромб.
Ответ: ромб.

3) ромба
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся теоремой Вариньона. Фигура, образованная серединами сторон ромба, является параллелограммом. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям исходного ромба. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как стороны полученного параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям ($MN || AC$, $MQ || BD$), то смежные стороны этого параллелограмма также будут перпендикулярны ($MN \perp MQ$). Параллелограмм с прямыми углами — это прямоугольник.
Ответ: прямоугольник.

4) квадрата
Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом. Поэтому фигура, образованная соединением середин его сторон, должна обладать свойствами фигур, получаемых как из прямоугольника, так и из ромба.
1. Так как квадрат — это частный случай прямоугольника, то полученная фигура будет ромбом (см. пункт 2), поскольку диагонали квадрата равны.
2. Так как квадрат — это частный случай ромба, то полученная фигура будет прямоугольником (см. пункт 3), поскольку диагонали квадрата перпендикулярны.
Фигура, которая одновременно является и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы прямые), — это квадрат.
Ответ: квадрат.