Номер 0.8, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.8. Найдите площадь ромба, сторона и одна из диагоналей которого равны 6 см.

Пусть дан ромб, у которого сторона $a$ и одна из диагоналей, назовем ее $d_1$, равны 6 см. То есть, $a = 6 \text{ см}$ и $d_1 = 6 \text{ см}$.
Требуется найти площадь ромба $S$.

Для наглядности представим этот ромб:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: через площадь треугольников
Диагональ ромба делит его на два одинаковых (конгруэнтных) треугольника. В нашем случае диагональ $d_1=6 \text{ см}$ и две прилежащие к ней стороны $a=6 \text{ см}$ образуют треугольник со сторонами 6, 6 и 6 см.
Этот треугольник является равносторонним. Площадь ромба равна удвоенной площади этого равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны $a=6 \text{ см}$:
$S_{\triangle} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2$
Площадь всего ромба равна:
$S_{ромб} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 9 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \text{ см}^2$

Способ 2: через диагонали
Площадь ромба можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
Мы знаем, что $d_1 = 6 \text{ см}$. Нам нужно найти вторую диагональ $d_2$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба $a=6 \text{ см}$, а катетами — половины диагоналей: $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
Один из катетов равен $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известные значения:
$3^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 6^2$
$9 + (\frac{d_2}{2})^2 = 36$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 36 - 9 = 27$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
Отсюда вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь ромба:
$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $18\sqrt{3} \text{ см}^2$.