Номер 0.13, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Используя условие предыдущей задачи, докажите, что $AC \parallel BD$.

Поскольку для решения задачи 0.13 требуется условие из предыдущей задачи, которое не предоставлено, мы будем исходить из наиболее вероятного и логически связанного условия, которое часто встречается в учебниках геометрии в таких последовательностях задач.

Предположим, что условие предыдущей задачи состояло в следующем: даны точки A, B, C, D, некоторая точка O (может быть началом координат) и действительное число $k$ такие, что выполняются векторные соотношения:

$\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$

$\vec{OD} = k \cdot \vec{OC}$

Геометрически это означает, что точка B лежит на прямой OA, а точка D — на прямой OC, причём обе они получены из точек A и C соответственно путем гомотетии (растяжения/сжатия) с центром в точке O и коэффициентом $k$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать параллельность прямых $AC$ и $BD$, необходимо и достаточно доказать коллинеарность их направляющих векторов, то есть векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Два вектора коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого на некоторое число.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через векторы, отложенные от точки O, по правилу вычитания векторов:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB}$

Теперь используем предполагаемое условие из предыдущей задачи. Подставим выражения для $\vec{OD}$ и $\vec{OB}$ в формулу для вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = (k \cdot \vec{OC}) - (k \cdot \vec{OA})$

Вынесем общий скалярный множитель $k$ за скобки:

$\vec{BD} = k (\vec{OC} - \vec{OA})$

Как мы видим, выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{AC}$. Следовательно, мы получаем соотношение:

$\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$

Данное равенство по определению означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Поскольку направляющие векторы прямых $BD$ и $AC$ коллинеарны, сами прямые параллельны. Таким образом, $AC \parallel BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: На основании предположенного условия из предыдущей задачи ($\vec{OB} = k \vec{OA}$ и $\vec{OD} = k \vec{OC}$) было доказано, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны, так как $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$. Из этого следует, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.