Номер 0.18, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Упражнения для повторения курса планиметрии. Раздел 0. Вопросы и упражнения для повторения курса планиметрии - номер 0.18, страница 11.

Условие rus.

0.18. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 15 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Условия kz.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения периметра равнобокой трапеции необходимо знать длины всех ее сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + 2c$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $c$ — длина боковой стороны.

По условию задачи нам даны основания трапеции: $a = 15$ см и $b = 10$ см, а также острый угол при основании, равный $60^{\circ}$. Нам нужно найти длину боковой стороны $c$.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD.

В полученной конструкции четырехугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Так как трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны. Следовательно, равны и их катеты $AH$ и $KD$.

Длину отрезка $AH$ можно найти как полуразность оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 10}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем катет $AH = 2.5$ см, а прилежащий к нему угол $\angle A = 60^{\circ}$. Боковая сторона трапеции $AB$ (обозначенная как $c$) является гипотенузой этого треугольника.

Используя определение косинуса, найдем гипотенузу $c$: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

$\cos(60^{\circ}) = \frac{2.5}{c}$

Поскольку $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{2.5}{c}$

Отсюда $c = 2 \cdot 2.5 = 5$ см.

Теперь, зная длины всех сторон, мы можем найти периметр трапеции: $P = AD + BC + 2c = 15 + 10 + 2 \cdot 5 = 25 + 10 = 35$ см.

Ответ: 35 см.