Номер 0.20, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.

Для доказательства этого утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них: алгебраический и с использованием неравенства о средних.

Доказательство с помощью анализа функции

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Его периметр P и площадь S выражаются формулами:
$P = 2(a + b)$
$S = a \cdot b$

По условию, периметр P является фиксированной величиной. Выразим полупериметр $p = \frac{P}{2}$. Тогда $a + b = p$, где p — константа.

Выразим одну из сторон через другую, например, b через a:
$b = p - a$

Поскольку длины сторон должны быть положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$), то $p - a > 0$, откуда $a < p$. Таким образом, переменная a может принимать значения в интервале $(0, p)$.

Теперь выразим площадь S как функцию от длины одной стороны a:
$S(a) = a \cdot b = a(p - a) = pa - a^2$

Полученная функция $S(a) = -a^2 + pa$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен (-1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = -1$ и $B = p$. Следовательно, значение a, при котором площадь максимальна, равно:
$a = -\frac{p}{2(-1)} = \frac{p}{2}$

Найдем соответствующее значение стороны b:
$b = p - a = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Так как $a = b = \frac{p}{2}$, то прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре является квадратом.

Доказательство с использованием неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Для любых двух неотрицательных чисел x и y справедливо неравенство, связывающее их среднее арифметическое и среднее геометрическое:
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$
Причем равенство достигается только в том случае, когда $x = y$.

Применим это неравенство к сторонам прямоугольника a и b, которые являются положительными величинами:
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Левая часть неравенства связана с периметром, а правая — с площадью.
Сумма сторон $a+b$ равна полупериметру $p = \frac{P}{2}$.
Произведение сторон $ab$ равно площади $S$.

Подставим эти значения в неравенство Коши:
$\frac{p}{2} \ge \sqrt{S}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{p}{2})^2 \ge S$
$S \le \frac{p^2}{4}$

Это неравенство показывает, что площадь S любого прямоугольника с полупериметром p не может превышать величину $\frac{p^2}{4}$. Максимальное значение площади $S_{max} = \frac{p^2}{4}$ достигается в том случае, когда в исходном неравенстве Коши выполняется условие равенства.

А равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ справедливо тогда и только тогда, когда $a=b$.

Следовательно, площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны, то есть когда прямоугольник является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет тот, у которого все стороны равны, то есть квадрат.